Номер 36, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36. Моторная лодка прошла 7 км по течению реки и 10 км против течения реки, затратив на путь по течению на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость движения лодки против течения реки.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это скорость течения реки.

Собственная скорость лодки известна и равна 12 км/ч. Тогда:

• Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по\_течению} = (12 + x)$ км/ч.
• Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против\_течения} = (12 - x)$ км/ч.

Время движения находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое лодка затратила на путь в 7 км по течению, составляет: $t_1 = \frac{7}{12 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь в 10 км против течения, составляет: $t_2 = \frac{10}{12 - x}$ часов.

По условию, на путь по течению было затрачено на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения. Это можно записать в виде уравнения:

$t_2 - t_1 = 0,5$

$\frac{10}{12 - x} - \frac{7}{12 + x} = 0,5$

Теперь решим это уравнение. Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(12 - x)(12 + x) = 144 - x^2$:

$\frac{10(12 + x) - 7(12 - x)}{(12 - x)(12 + x)} = 0,5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120 + 10x - 84 + 7x}{144 - x^2} = 0,5$

$\frac{36 + 17x}{144 - x^2} = 0,5$

Представим 0,5 как $\frac{1}{2}$ и воспользуемся свойством пропорции:

$2(36 + 17x) = 1(144 - x^2)$

$72 + 34x = 144 - x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 34x + 72 - 144 = 0$

$x^2 + 34x - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-34 + \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-34 + 38}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-34 - \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-34 - 38}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как скорость течения реки ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -36$ не является решением задачи. Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

В задаче требуется найти скорость движения лодки против течения реки. Вычислим ее:

$v_{против\_течения} = 12 - x = 12 - 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.