Номер 30, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1} $;

2) $ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2} $.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1}$, сгруппируем слагаемые в знаменателе как $(\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3}$ и умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3}$.
$\frac{1}{(\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3})}{((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{3})((\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{3}}{(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{3})^2}$
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для знаменателя, получаем:
$(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 3 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 3 = 2\sqrt{2}$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
Чтобы убрать оставшуюся иррациональность в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{2} + 1\cdot\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

2) Для дроби $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3} - 2}$ сгруппируем слагаемые в знаменателе как $\sqrt{5} - (\sqrt{3} + 2)$ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5} + (\sqrt{3} + 2)$.
$\frac{1}{\sqrt{5} - (\sqrt{3} + 2)} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{5} - (\sqrt{3} + 2))(\sqrt{5} + (\sqrt{3} + 2))} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3} + 2)^2}$.
Применим формулу разности квадратов к знаменателю:
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3} + 2)^2 = 5 - ((\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot2 + 2^2) = 5 - (3 + 4\sqrt{3} + 4) = 5 - 7 - 4\sqrt{3} = -2 - 4\sqrt{3}$.
Дробь принимает вид: $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2}{-2 - 4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2}{-2(1 + 2\sqrt{3})}$.
Теперь умножим числитель и знаменатель на выражение $(1 - 2\sqrt{3})$, сопряженное к $(1 + 2\sqrt{3})$:
$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2)(1 - 2\sqrt{3})}{-2(1 + 2\sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3})}$.
Вычислим числитель: $(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2)(1 - 2\sqrt{3}) = \sqrt{5}(1-2\sqrt{3}) + \sqrt{3}(1-2\sqrt{3}) + 2(1-2\sqrt{3}) = \sqrt{5} - 2\sqrt{15} + \sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2 + 2 - 4\sqrt{3} = \sqrt{5} - 2\sqrt{15} + \sqrt{3} - 6 + 2 - 4\sqrt{3} = -4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{15}$.
Вычислим знаменатель: $-2(1 + 2\sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3}) = -2(1^2 - (2\sqrt{3})^2) = -2(1 - 4 \cdot 3) = -2(1 - 12) = -2(-11) = 22$.
В результате получаем: $\frac{-4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{15}}{22}$.

Ответ: $\frac{-4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{15}}{22}$.