Номер 31, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31. При каком значении $x$ дробь $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$ принимает наибольшее значение?

Для того чтобы найти, при каком значении $x$ дробь принимает наибольшее значение, исследуем функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, область определения функции: $x \in [0, 3) \cup (3, \infty)$.

Далее упростим исходное выражение. Знаменатель $x-3$ можно представить как разность квадратов, поскольку $x = (\sqrt{x})^2$ и $3 = (\sqrt{3})^2$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$x - 3 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})$.

Теперь подставим это разложение в исходную дробь:

$f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{(\sqrt{x} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})}$.

Так как на всей области определения $x \neq 3$, то и $\sqrt{x} \neq \sqrt{3}$, а значит выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{3})$ не равно нулю. Поэтому мы можем сократить дробь на этот множитель:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}$.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}$. Дробь, у которой числитель — постоянное положительное число (в данном случае 1), принимает наибольшее значение тогда, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение.

Рассмотрим знаменатель $g(x) = \sqrt{x} + \sqrt{3}$. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Поскольку $\sqrt{3}$ — это постоянная величина, функция $g(x) = \sqrt{x} + \sqrt{3}$ также является монотонно возрастающей.

Возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в начальной точке своей области определения. Наименьшее значение $x$ в области $x \in [0, 3) \cup (3, \infty)$ — это $x=0$.

Следовательно, при $x=0$ знаменатель $\sqrt{x} + \sqrt{3}$ будет минимальным, а значение всей дроби $f(x)$ — максимальным.

Ответ: $x = 0$.