Номер 29, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:

1) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{y}}{\sqrt{a}}$; 2) $\frac{7 - \sqrt{x}}{49 - 7\sqrt{x} + x}$; 3) $\frac{x + \sqrt{b}}{x\sqrt{b}}$; 4) $\frac{\sqrt{an} + 1}{an + \sqrt{an} + 1}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{y}}{\sqrt{a}}$, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным к выражению $\sqrt{a} - \sqrt{y}$ является $\sqrt{a} + \sqrt{y}$.

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{y}}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{y})(\sqrt{a} + \sqrt{y})}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{y})}$

В числителе применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$(\sqrt{a} - \sqrt{y})(\sqrt{a} + \sqrt{y}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{y})^2 = a - y$.

В знаменателе раскроем скобки:

$\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{y}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{y} = a + \sqrt{ay}$.

В результате получаем дробь, числитель которой не содержит иррациональности:

$\frac{a - y}{a + \sqrt{ay}}$

Ответ: $\frac{a - y}{a + \sqrt{ay}}$

2) Для дроби $\frac{7 - \sqrt{x}}{49 - 7\sqrt{x} + x}$ необходимо избавиться от иррациональности в числителе. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на $7 + \sqrt{x}$.

$\frac{7 - \sqrt{x}}{49 - 7\sqrt{x} + x} = \frac{(7 - \sqrt{x})(7 + \sqrt{x})}{(49 - 7\sqrt{x} + x)(7 + \sqrt{x})}$

В числителе используем формулу разности квадратов:

$(7 - \sqrt{x})(7 + \sqrt{x}) = 7^2 - (\sqrt{x})^2 = 49 - x$.

Знаменатель является произведением $(49 - 7\sqrt{x} + x)(7 + \sqrt{x})$. Можно заметить, что выражение в первой скобке $49 - 7\sqrt{x} + x = 7^2 - 7\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2$ является неполным квадратом разности. Это часть формулы суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. При $a=7$ и $b=\sqrt{x}$ получаем:

$(7 + \sqrt{x})(7^2 - 7\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = 7^3 + (\sqrt{x})^3 = 343 + x\sqrt{x}$.

Таким образом, итоговая дробь:

$\frac{49 - x}{343 + x\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{49 - x}{343 + x\sqrt{x}}$

3) Дана дробь $\frac{x + \sqrt{b}}{x\sqrt{b}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение, которое равно $x - \sqrt{b}$.

$\frac{x + \sqrt{b}}{x\sqrt{b}} = \frac{(x + \sqrt{b})(x - \sqrt{b})}{x\sqrt{b}(x - \sqrt{b})}$

Числитель преобразуем по формуле разности квадратов:

$(x + \sqrt{b})(x - \sqrt{b}) = x^2 - (\sqrt{b})^2 = x^2 - b$.

Знаменатель преобразуем, раскрыв скобки:

$x\sqrt{b}(x - \sqrt{b}) = x\sqrt{b} \cdot x - x\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = x^2\sqrt{b} - xb$.

Получаем дробь с рациональным числителем:

$\frac{x^2 - b}{x^2\sqrt{b} - xb}$

Ответ: $\frac{x^2 - b}{x^2\sqrt{b} - xb}$

4) Исходная дробь $\frac{\sqrt{an+1} + 1}{an + \sqrt{an+1}}$. Для того чтобы освободиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $\sqrt{an+1} - 1$.

$\frac{\sqrt{an+1} + 1}{an + \sqrt{an+1}} = \frac{(\sqrt{an+1} + 1)(\sqrt{an+1} - 1)}{(an + \sqrt{an+1})(\sqrt{an+1} - 1)}$

Преобразуем числитель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{an+1} + 1)(\sqrt{an+1} - 1) = (\sqrt{an+1})^2 - 1^2 = (an+1) - 1 = an$.

Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$(an + \sqrt{an+1})(\sqrt{an+1} - 1) = an \cdot \sqrt{an+1} - an \cdot 1 + \sqrt{an+1} \cdot \sqrt{an+1} - 1 \cdot \sqrt{an+1}$
$= an\sqrt{an+1} - an + (an+1) - \sqrt{an+1}$
$= an\sqrt{an+1} - an + an + 1 - \sqrt{an+1}$
$= an\sqrt{an+1} - \sqrt{an+1} + 1 = (an-1)\sqrt{an+1} + 1$.

В результате получаем дробь:

$\frac{an}{(an-1)\sqrt{an+1} + 1}$

Ответ: $\frac{an}{(an-1)\sqrt{an+1} + 1}$