Номер 22, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Докажите, что является рациональным числом значение выражения:

1) $ \frac{1}{5\sqrt{2} - 6} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 6} $

2) $ \frac{1}{5 + 4\sqrt{7}} + \frac{1}{5 - 4\sqrt{7}} $

1) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить его. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$\frac{1}{5\sqrt{2} - 6} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 6} = \frac{(5\sqrt{2} + 6) - (5\sqrt{2} - 6)}{(5\sqrt{2} - 6)(5\sqrt{2} + 6)} = \frac{5\sqrt{2} + 6 - 5\sqrt{2} + 6}{(5\sqrt{2})^2 - 6^2}$
Упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $5\sqrt{2} + 6 - 5\sqrt{2} + 6 = 12$
Знаменатель: $(5\sqrt{2})^2 - 6^2 = 25 \cdot 2 - 36 = 50 - 36 = 14$
Получаем дробь: $\frac{12}{14} = \frac{6}{7}$.
Число $\frac{6}{7}$ является рациональным, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел, и знаменатель не равен нулю.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

2) Аналогично первому пункту, приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$\frac{1}{5 + 4\sqrt{7}} + \frac{1}{5 - 4\sqrt{7}} = \frac{(5 - 4\sqrt{7}) + (5 + 4\sqrt{7})}{(5 + 4\sqrt{7})(5 - 4\sqrt{7})} = \frac{5 - 4\sqrt{7} + 5 + 4\sqrt{7}}{5^2 - (4\sqrt{7})^2}$
Упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $5 - 4\sqrt{7} + 5 + 4\sqrt{7} = 10$
Знаменатель: $5^2 - (4\sqrt{7})^2 = 25 - 16 \cdot 7 = 25 - 112 = -87$
Получаем дробь: $\frac{10}{-87} = -\frac{10}{87}$.
Число $-\frac{10}{87}$ является рациональным, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел, и знаменатель не равен нулю.
Ответ: $-\frac{10}{87}$.