Номер 20, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20. Найдите значение выражения:

1)

$ \frac{3}{11 - 2\sqrt{10}} + \frac{3}{11 + 2\sqrt{10}} $

2)

$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $

1) Чтобы найти значение выражения, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10}) = 11^2 - (2\sqrt{10})^2 = 121 - 4 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{3}{11 - 2\sqrt{10}} + \frac{3}{11 + 2\sqrt{10}} = \frac{3(11 + 2\sqrt{10}) + 3(11 - 2\sqrt{10})}{(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})} = \frac{33 + 6\sqrt{10} + 33 - 6\sqrt{10}}{81}$.

Упростим числитель:

$33 + 6\sqrt{10} + 33 - 6\sqrt{10} = 66$.

Таким образом, выражение равно $\frac{66}{81}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{66 \div 3}{81 \div 3} = \frac{22}{27}$.

Ответ: $\frac{22}{27}$.

2) Для нахождения значения выражения приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$.

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.

Подставим полученные значения в числитель:

$(8 - 2\sqrt{15}) - (8 + 2\sqrt{15}) = 8 - 2\sqrt{15} - 8 - 2\sqrt{15} = -4\sqrt{15}$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$\frac{-4\sqrt{15}}{2} = -2\sqrt{15}$.

Ответ: $-2\sqrt{15}$.