Страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $a\sqrt{3}$, где $a \ge 0$;

2) $x \cdot \sqrt{\frac{2}{x}}$;

3) $a\sqrt{3}$, где $a < 0$;

4) $x \cdot \sqrt{-\frac{2}{x}}$;

5) $c\sqrt{3c}$;

6) $c\sqrt[4]{3c^4}$.

1) В данном задании, вероятнее всего, имеется в виду операция внесения множителя под знак корня. Для выражения $a\sqrt{3}$ при условии $a \ge 0$, множитель $a$ является неотрицательным. Мы можем представить $a$ как $\sqrt{a^2}$.
Тогда:$a\sqrt{3} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{a^2 \cdot 3} = \sqrt{3a^2}$.
Ответ: $\sqrt{3a^2}$

2) Внесем множитель $x$ под знак корня в выражении $x \cdot \sqrt{\frac{2}{x}}$.
Сначала определим область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{2}{x} \ge 0$. Так как числитель $2 > 0$, то и знаменатель должен быть положительным: $x > 0$.
Поскольку $x > 0$, мы можем записать $x$ как $\sqrt{x^2}$.
$x \cdot \sqrt{\frac{2}{x}} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{\frac{2}{x}} = \sqrt{x^2 \cdot \frac{2}{x}} = \sqrt{2x}$.
Ответ: $\sqrt{2x}$

3) Внесем множитель $a$ под знак корня в выражении $a\sqrt{3}$ при условии $a < 0$.
Так как $a$ — отрицательное число, его можно представить в виде $a = -|a| = -\sqrt{a^2}$.
Тогда:
$a\sqrt{3} = (-\sqrt{a^2}) \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{a^2 \cdot 3} = -\sqrt{3a^2}$.
Ответ: $-\sqrt{3a^2}$

4) Внесем множитель $x$ под знак корня в выражении $x \cdot \sqrt{-\frac{2}{x}}$.
Область допустимых значений: $-\frac{2}{x} \ge 0$, что означает $\frac{2}{x} \le 0$. Так как $2 > 0$, то $x < 0$.
Поскольку $x < 0$, мы можем записать $x$ как $x = -|x| = -\sqrt{x^2}$.
$x \cdot \sqrt{-\frac{2}{x}} = (-\sqrt{x^2}) \cdot \sqrt{-\frac{2}{x}} = -\sqrt{x^2 \cdot \left(-\frac{2}{x}\right)} = -\sqrt{-2x}$.
(Заметим, что при $x < 0$ выражение $-2x$ будет положительным, поэтому корень определен).
Ответ: $-\sqrt{-2x}$

5) Внесем множитель $c$ под знак корня в выражении $c\sqrt{3c}$.
Область допустимых значений для корня: $3c \ge 0$, откуда $c \ge 0$.
Так как множитель $c$ неотрицателен, мы можем записать его как $c = \sqrt{c^2}$.
$c\sqrt{3c} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{3c} = \sqrt{c^2 \cdot 3c} = \sqrt{3c^3}$.
Ответ: $\sqrt{3c^3}$

6) Внесем множитель $c$ под знак корня в выражении $c\sqrt{3c^4}$.
Подкоренное выражение $3c^4$ определено для любого действительного $c$, так как $c^4 \ge 0$. Необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака множителя $c$.
Случай 1: $c \ge 0$.
В этом случае $c = \sqrt{c^2}$.
$c\sqrt{3c^4} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{3c^4} = \sqrt{c^2 \cdot 3c^4} = \sqrt{3c^6}$.
Случай 2: $c < 0$.
В этом случае $c = -|c| = -\sqrt{c^2}$.
$c\sqrt{3c^4} = (-\sqrt{c^2}) \cdot \sqrt{3c^4} = -\sqrt{c^2 \cdot 3c^4} = -\sqrt{3c^6}$.
Ответ: $\sqrt{3c^6}$ при $c \ge 0$; $-\sqrt{3c^6}$ при $c < 0$.

16. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $x\sqrt{3} = \sqrt{3x^2}$;

2) $\sqrt{13a^2} = -a\sqrt{13}$;

3) $y\sqrt{5} = -\sqrt{5y^2}$;

4) $\sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$?

1) Для того чтобы равенство $x\sqrt{3} = \sqrt{3x^2}$ было верным, необходимо определить, при каких значениях $x$ можно внести множитель $x$ под знак корня именно таким образом. Вспомним правило внесения множителя под знак корня: $k\sqrt{a} = \sqrt{k^2a}$ только при $k \ge 0$. Если $k < 0$, то $k\sqrt{a} = -\sqrt{k^2a}$. В данном равенстве множитель $x$ вносится под корень со знаком плюс, следовательно, $x$ должен быть неотрицательным.
Другой способ решения — преобразовать правую часть равенства, используя свойство $\sqrt{b^2} = |b|$:$\sqrt{3x^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{3} \cdot |x|$.Тогда исходное равенство принимает вид:$x\sqrt{3} = |x|\sqrt{3}$Разделив обе части на $\sqrt{3}$, получаем:$x = |x|$Это равенство справедливо для всех $x$, которые больше или равны нулю.
Ответ: $x \ge 0$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt{13a^2} = -a\sqrt{13}$. Преобразуем левую часть, используя правило вынесения множителя из-под знака корня $\sqrt{b^2} = |b|$:$\sqrt{13a^2} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{a^2} = |a|\sqrt{13}$.Теперь исходное равенство можно записать так:$|a|\sqrt{13} = -a\sqrt{13}$Разделим обе части на $\sqrt{13}$:$|a| = -a$Это равенство верно, когда переменная $a$ является неположительным числом (т.е. отрицательным или равным нулю). Например, если $a = -5$, то $|-5| = -(-5)$, что дает $5=5$. Если $a=0$, то $|0| = -0$, что дает $0=0$. Если $a=5$, то $|5| = -5$, что неверно ($5 \neq -5$).
Ответ: $a \le 0$.

3) Проанализируем равенство $y\sqrt{5} = -\sqrt{5y^2}$. Это равенство связано с правилом внесения множителя под знак корня. Как упоминалось в пункте 1, равенство вида $k\sqrt{a} = -\sqrt{k^2a}$ выполняется, когда $k \le 0$. Проверим случай $y=0$: левая часть $0\sqrt{5}=0$, правая часть $-\sqrt{5 \cdot 0^2} = 0$. Равенство верно. Значит, $y$ может быть равен нулю. Если $y<0$, то по правилу внесения отрицательного множителя под корень, равенство также будет верным.
Также можно преобразовать правую часть:$-\sqrt{5y^2} = -\sqrt{5} \cdot \sqrt{y^2} = -|y|\sqrt{5}$.Подставим это в исходное уравнение:$y\sqrt{5} = -|y|\sqrt{5}$Разделив на $\sqrt{5}$, получаем:$y = -|y|$Это равенство, как и в пункте 2, верно для всех неположительных значений $y$.
Ответ: $y \le 0$.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$. Преобразуем левую часть равенства, вынося множитель из-под знака корня:$\sqrt{5x^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{x^2} = |x|\sqrt{5}$.Исходное равенство принимает вид:$|x|\sqrt{5} = x\sqrt{5}$Разделим обе части на $\sqrt{5}$:$|x| = x$Это равенство, как и в пункте 1, верно для всех неотрицательных значений $x$.
Ответ: $x \ge 0$.

17. Внесите множитель под знак корня:

1) $2x^3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}$;

2) $3a^2b \sqrt{\frac{b}{a}}$, где $a > 0, b > 0$;

3) $4ab \sqrt{\frac{a}{4b}}$, где $a < 0, b < 0$;

4) $-a^4 \sqrt{7}$;

5) $\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b^3}{a}}$, где $a < 0, b < 0$;

6) $6x \sqrt{-\frac{x}{3}}$.

1) Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо определить знак множителя. Выражение $\sqrt{\frac{1}{x}}$ имеет смысл при $\frac{1}{x} \ge 0$, что означает $x > 0$. Поскольку $x > 0$, множитель $2x^3$ также положителен. Для внесения положительного множителя под знак корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. $2x^3 \sqrt{\frac{1}{x}} = \sqrt{(2x^3)^2 \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{4x^6 \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{\frac{4x^6}{x}} = \sqrt{4x^5}$.
Ответ: $\sqrt{4x^5}$.

2) По условию задачи $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, множитель $3a^2b$ является положительным, так как $3>0$, $a^2>0$ и $b>0$. Вносим положительный множитель под знак корня, возведя его в квадрат: $3a^2b \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{(3a^2b)^2 \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{9a^4b^2 \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{9a^4b^3}{a}} = \sqrt{9a^{4-1}b^3} = \sqrt{9a^3b^3}$.
Ответ: $\sqrt{9a^3b^3}$.

3) По условию $a < 0$ и $b < 0$. Подкоренное выражение $\frac{a}{4b}$ положительно, так как является частным двух отрицательных величин ($a$ и $4b$). Множитель $4ab$ является положительным, так как представляет собой произведение двух отрицательных чисел $a$ и $b$, умноженное на положительное число 4. Вносим положительный множитель $4ab$ под знак корня: $4ab \sqrt{\frac{a}{4b}} = \sqrt{(4ab)^2 \cdot \frac{a}{4b}} = \sqrt{16a^2b^2 \cdot \frac{a}{4b}} = \sqrt{\frac{16a^3b^2}{4b}} = \sqrt{4a^3b^{2-1}} = \sqrt{4a^3b}$.
Ответ: $\sqrt{4a^3b}$.

4) Множитель, который нужно внести под знак корня, это $-a^4$. Так как $a^4$ является четной степенью, $a^4 \ge 0$ для любого действительного числа $a$. Следовательно, множитель $-a^4 \le 0$. Чтобы внести отрицательный или равный нулю множитель $C$ под знак квадратного корня, используется правило $C\sqrt{A} = -\sqrt{C^2 A}$. Применяя это правило, получаем: $-a^4 \sqrt{7} = -\sqrt{(-a^4)^2 \cdot 7} = -\sqrt{(a^4)^2 \cdot 7} = -\sqrt{a^8 \cdot 7} = -\sqrt{7a^8}$.
Ответ: $-\sqrt{7a^8}$.

5) По условию $a < 0$ и $b < 0$. Подкоренное выражение $\frac{b^3}{a}$ является положительным, так как $b^3 < 0$ (нечетная степень отрицательного числа) и $a < 0$. Множитель $\frac{a}{b}$ является положительным, так как это частное двух отрицательных чисел. Вносим положительный множитель $\frac{a}{b}$ под знак корня: $\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b^3}{a}} = \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \frac{b^3}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^3}{a}} = \sqrt{\frac{a^2 b^3}{a b^2}} = \sqrt{a^{2-1}b^{3-2}} = \sqrt{ab}$.
Ответ: $\sqrt{ab}$.

6) Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $-\frac{x}{3} \ge 0$. Умножив обе части на $-3$, получим $x \le 0$. Множитель $6x$ является неположительным, так как $x \le 0$. Для внесения отрицательного (или равного нулю) множителя $C$ под знак корня, используется правило $C\sqrt{A} = -\sqrt{C^2 A}$. Применяем это правило для $C=6x$ и $A=-\frac{x}{3}$: $6x \sqrt{-\frac{x}{3}} = -\sqrt{(6x)^2 \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)} = -\sqrt{36x^2 \cdot \left(-\frac{x}{3}\right)} = -\sqrt{-\frac{36x^3}{3}} = -\sqrt{-12x^3}$.
Ответ: $-\sqrt{-12x^3}$.

18. Вычислите значение выражения:

1) $x^2 - 6$ при $x = 1 - 2\sqrt{5}$;

2) $x^2 - 4x + 5$ при $x = 2 + \sqrt{3}$;

3) $x^2 - 6x$ при $x = 3 - \sqrt{3}$;

4) $x^2 - 3x + 6$ при $x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 6$ при $x = 1 - 2\sqrt{5}$, подставим значение $x$ в выражение:

$(1 - 2\sqrt{5})^2 - 6$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 - 6 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 - 6 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 - 6$

Сгруппируем и сложим числовые значения:

$(1 + 20 - 6) - 4\sqrt{5} = 15 - 4\sqrt{5}$

Ответ: $15 - 4\sqrt{5}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 4x + 5$ при $x = 2 + \sqrt{3}$, можно преобразовать исходное выражение, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$

Теперь подставим значение $x = 2 + \sqrt{3}$ в преобразованное выражение. Сначала найдем значение $x-2$:

$x - 2 = (2 + \sqrt{3}) - 2 = \sqrt{3}$

Подставляем это в $(x - 2)^2 + 1$:

$(\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4$

Ответ: $4$.

3) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 6x$ при $x = 3 - \sqrt{3}$, можно выделить полный квадрат:

$x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9$

Теперь подставим значение $x = 3 - \sqrt{3}$. Найдем значение $x-3$:

$x - 3 = (3 - \sqrt{3}) - 3 = -\sqrt{3}$

Подставляем это в $(x - 3)^2 - 9$:

$(-\sqrt{3})^2 - 9 = 3 - 9 = -6$

Ответ: $-6$.

4) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 3x + 6$ при $x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$, преобразуем равенство для $x$:

$x = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2x = 3 - \sqrt{2}$

Перенесем 3 в левую часть:

$2x - 3 = -\sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2x - 3)^2 = (-\sqrt{2})^2$

$4x^2 - 12x + 9 = 2$

Перенесем 2 в левую часть:

$4x^2 - 12x + 7 = 0$

Заметим, что искомое выражение $x^2 - 3x + 6$ связано с полученным. Вынесем 4 за скобки в левой части уравнения:

$4(x^2 - 3x) + 7 = 0$

Отсюда найдем значение $x^2 - 3x$:

$4(x^2 - 3x) = -7$

$x^2 - 3x = -\frac{7}{4}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$x^2 - 3x + 6 = (-\frac{7}{4}) + 6 = -\frac{7}{4} + \frac{24}{4} = \frac{-7 + 24}{4} = \frac{17}{4}$

Ответ: $\frac{17}{4}$.

19. Докажите, что является натуральным числом значение выражения:

1) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}.$

2) $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}) \cdot \sqrt{3} + 3.$

1)Для доказательства того, что значение выражения является натуральным числом, мы упростим его по частям.Выражение: $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.

Сначала упростим первые два слагаемых, используя формулу для квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.Для $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:$7 - 4\sqrt{3} = 7 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Мы ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$ (или $ab = 2\sqrt{3}$).Подходят числа $a=2$ и $b=\sqrt{3}$, так как $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.Тогда $7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$.Поскольку $2 > \sqrt{3}$ (так как $4 > 3$), выражение $2 - \sqrt{3}$ положительно.Следовательно, $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$.

Аналогично для $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$:$7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 4\sqrt{3} = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$.Следовательно, $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь упростим третье слагаемое, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{49 - 16 \cdot 3} = \sqrt{49 - 48} = \sqrt{1} = 1$.

Подставим все упрощенные части обратно в исходное выражение:$(2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) + 1 = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 1 = 4 + 1 = 5$.

Значение выражения равно 5, что является натуральным числом, что и требовалось доказать.Ответ: 5.

2)Для доказательства того, что значение выражения является натуральным числом, мы упростим его.Выражение: $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}) \cdot \sqrt{3} + 3$.

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого, как и в предыдущем задании, представим подкоренные выражения в виде полного квадрата.Для $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$:Ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 5$ и $2ab = 2\sqrt{6}$ (или $ab = \sqrt{6}$).Подходят числа $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$, так как $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.Тогда $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$.Поскольку $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, выражение $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ положительно.Следовательно, $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Аналогично для $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$:$5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.Следовательно, $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные выражения в скобки:$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$.

Подставим результат в исходное выражение и вычислим его значение:$(2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} + 3 = 2 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$.

Значение выражения равно 9, что является натуральным числом, что и требовалось доказать.Ответ: 9.

20. Найдите значение выражения:

1)

$ \frac{3}{11 - 2\sqrt{10}} + \frac{3}{11 + 2\sqrt{10}} $

2)

$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $

1) Чтобы найти значение выражения, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10}) = 11^2 - (2\sqrt{10})^2 = 121 - 4 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{3}{11 - 2\sqrt{10}} + \frac{3}{11 + 2\sqrt{10}} = \frac{3(11 + 2\sqrt{10}) + 3(11 - 2\sqrt{10})}{(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})} = \frac{33 + 6\sqrt{10} + 33 - 6\sqrt{10}}{81}$.

Упростим числитель:

$33 + 6\sqrt{10} + 33 - 6\sqrt{10} = 66$.

Таким образом, выражение равно $\frac{66}{81}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{66 \div 3}{81 \div 3} = \frac{22}{27}$.

Ответ: $\frac{22}{27}$.

2) Для нахождения значения выражения приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$.

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.

Подставим полученные значения в числитель:

$(8 - 2\sqrt{15}) - (8 + 2\sqrt{15}) = 8 - 2\sqrt{15} - 8 - 2\sqrt{15} = -4\sqrt{15}$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$\frac{-4\sqrt{15}}{2} = -2\sqrt{15}$.

Ответ: $-2\sqrt{15}$.

21. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5}{3 - 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}$;

2) $\frac{11 + \sqrt{21}}{11 - \sqrt{21}} + \frac{11 - \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}}$.

1)

Чтобы найти значение выражения $\frac{5}{3-2\sqrt{2}} + \frac{5}{3+2\sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение знаменателей данных дробей: $(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$.

Для вычисления знаменателя воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение. Для этого числитель первой дроби умножим на $(3+2\sqrt{2})$, а числитель второй дроби на $(3-2\sqrt{2})$:

$\frac{5(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} + \frac{5(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{5(3+2\sqrt{2}) + 5(3-2\sqrt{2})}{1}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$5(3+2\sqrt{2}) + 5(3-2\sqrt{2}) = 15 + 10\sqrt{2} + 15 - 10\sqrt{2} = 30$.

Таким образом, значение исходного выражения равно:

$\frac{30}{1} = 30$.

Ответ: $30$.

2)

Чтобы найти значение выражения $\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}} + \frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}$, так же, как и в предыдущем примере, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21})$. Вычислим его значение по формуле разности квадратов:

$(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21}) = 11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Числитель первой дроби нужно умножить на $(11+\sqrt{21})$, а числитель второй — на $(11-\sqrt{21})$:

$\frac{(11+\sqrt{21})(11+\sqrt{21})}{(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21})} + \frac{(11-\sqrt{21})(11-\sqrt{21})}{(11+\sqrt{21})(11-\sqrt{21})} = \frac{(11+\sqrt{21})^2 + (11-\sqrt{21})^2}{100}$.

Теперь раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(11+\sqrt{21})^2 = 11^2 + 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{21} + (\sqrt{21})^2 = 121 + 22\sqrt{21} + 21 = 142 + 22\sqrt{21}$.

$(11-\sqrt{21})^2 = 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{21} + (\sqrt{21})^2 = 121 - 22\sqrt{21} + 21 = 142 - 22\sqrt{21}$.

Сложим полученные выражения в числителе:

$(142 + 22\sqrt{21}) + (142 - 22\sqrt{21}) = 142 + 142 = 284$.

Подставим полученное значение числителя в дробь:

$\frac{284}{100}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{284}{100} = \frac{71 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{71}{25}$.

Ответ: $\frac{71}{25}$.

22. Докажите, что является рациональным числом значение выражения:

1) $ \frac{1}{5\sqrt{2} - 6} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 6} $

2) $ \frac{1}{5 + 4\sqrt{7}} + \frac{1}{5 - 4\sqrt{7}} $

1) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить его. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$\frac{1}{5\sqrt{2} - 6} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 6} = \frac{(5\sqrt{2} + 6) - (5\sqrt{2} - 6)}{(5\sqrt{2} - 6)(5\sqrt{2} + 6)} = \frac{5\sqrt{2} + 6 - 5\sqrt{2} + 6}{(5\sqrt{2})^2 - 6^2}$
Упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $5\sqrt{2} + 6 - 5\sqrt{2} + 6 = 12$
Знаменатель: $(5\sqrt{2})^2 - 6^2 = 25 \cdot 2 - 36 = 50 - 36 = 14$
Получаем дробь: $\frac{12}{14} = \frac{6}{7}$.
Число $\frac{6}{7}$ является рациональным, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел, и знаменатель не равен нулю.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

2) Аналогично первому пункту, приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$\frac{1}{5 + 4\sqrt{7}} + \frac{1}{5 - 4\sqrt{7}} = \frac{(5 - 4\sqrt{7}) + (5 + 4\sqrt{7})}{(5 + 4\sqrt{7})(5 - 4\sqrt{7})} = \frac{5 - 4\sqrt{7} + 5 + 4\sqrt{7}}{5^2 - (4\sqrt{7})^2}$
Упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $5 - 4\sqrt{7} + 5 + 4\sqrt{7} = 10$
Знаменатель: $5^2 - (4\sqrt{7})^2 = 25 - 16 \cdot 7 = 25 - 112 = -87$
Получаем дробь: $\frac{10}{-87} = -\frac{10}{87}$.
Число $-\frac{10}{87}$ является рациональным, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел, и знаменатель не равен нулю.
Ответ: $-\frac{10}{87}$.

23. Докажите тождество:

1) $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{8\sqrt{2} + 18} = \sqrt{2} + 4.$

1) Чтобы доказать тождество $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$, преобразуем выражение в левой части. Для этого выделим под знаком корня полный квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы хотим представить подкоренное выражение $6 - 4\sqrt{2}$ в виде $(a-b)^2$. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: $a^2 + b^2 = 6$ и $2ab = 4\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{2}$. Методом подбора находим, что $a=2$ и $b=\sqrt{2}$ являются подходящими значениями, так как их квадраты в сумме дают $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 + 2 = 6$.
Следовательно, выражение под корнем можно записать в виде квадрата разности:
$6 - 4\sqrt{2} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 - \sqrt{2})^2$.
Теперь подставим это в левую часть исходного тождества:
$\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |2 - \sqrt{2}|$.
Чтобы раскрыть модуль, оценим знак выражения $2 - \sqrt{2}$. Так как $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} > \sqrt{2}$, то разность $2 - \sqrt{2}$ является положительным числом. Поэтому $|2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}$.
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна $2 - \sqrt{2}$, что в точности совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $\sqrt{8\sqrt{2} + 18} = \sqrt{2} + 4$, преобразуем выражение в левой части. Для этого выделим под знаком корня полный квадрат суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Перепишем подкоренное выражение в более удобном виде: $18 + 8\sqrt{2}$. Мы хотим представить его в виде $(a+b)^2$. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: $a^2 + b^2 = 18$ и $2ab = 8\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 4\sqrt{2}$. Методом подбора находим, что $a=4$ и $b=\sqrt{2}$ являются подходящими значениями, так как их квадраты в сумме дают $a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18$.
Следовательно, выражение под корнем можно записать в виде квадрата суммы:
$18 + 8\sqrt{2} = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (4 + \sqrt{2})^2$.
Теперь подставим это в левую часть исходного тождества:
$\sqrt{18 + 8\sqrt{2}} = \sqrt{(4 + \sqrt{2})^2} = |4 + \sqrt{2}|$.
Так как оба слагаемых $4$ и $\sqrt{2}$ положительны, их сумма $4 + \sqrt{2}$ также положительна. Поэтому $|4 + \sqrt{2}| = 4 + \sqrt{2}$.
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна $4 + \sqrt{2}$, что совпадает с правой частью ($\sqrt{2} + 4$). Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

24. Найдите значение дроби $ \frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2} $ при $ y = 3 + \sqrt{5} $ и $ x = 3 - \sqrt{5} $.

Для нахождения значения дроби $\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2}$ при $y = 3 + \sqrt{5}$ и $x = 3 - \sqrt{5}$ не будем подставлять значения напрямую. Вместо этого сначала вычислим значения выражений $x+y$ и $xy$, так как $x$ и $y$ являются сопряженными числами.

1. Найдем сумму $x$ и $y$:

$x + y = (3 - \sqrt{5}) + (3 + \sqrt{5}) = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} = 6$.

2. Найдем произведение $x$ и $y$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$xy = (3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

3. Теперь преобразуем числитель и знаменатель исходной дроби, используя полученные значения.

Знаменатель дроби равен $x + y + 2$. Подставим найденное значение $x+y=6$:

$x + y + 2 = 6 + 2 = 8$.

Числитель дроби равен $x^2 - 3xy + y^2$. Преобразуем его, выделив полный квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$x^2 - 3xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 2xy - 3xy = (x+y)^2 - 5xy$.

Теперь подставим в это выражение значения $x+y=6$ и $xy=4$:

$(x+y)^2 - 5xy = 6^2 - 5 \cdot 4 = 36 - 20 = 16$.

4. Вычислим значение всей дроби:

$\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2} = \frac{16}{8} = 2$.

Ответ: 2