Страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что является решением системы нелинейных неравенств с одной переменной?

2. Сколько решений может иметь система нелинейных неравенств с одной переменной?

1. Что является решением системы нелинейных неравенств с одной переменной?
Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Нелинейное неравенство — это неравенство, в котором переменная входит в степени выше первой, находится под знаком корня, логарифма, тригонометрической функции и т.д.
Решением системы нелинейных неравенств с одной переменной называется такое значение этой переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.
Чтобы решить систему неравенств, необходимо:
1. Решить каждое неравенство системы по отдельности, найдя множество его решений (обычно это интервалы или объединения интервалов).
2. Найти пересечение (общую часть) множеств решений всех неравенств, входящих в систему. Это пересечение и будет множеством решений системы.
Например, рассмотрим систему:
$ \begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 1 \le 0 \end{cases} $
Решение первого неравенства $x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0$ есть объединение интервалов $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Решение второго неравенства $x - 1 \le 0$ есть интервал $(-\infty; 1]$.
Пересечением этих множеств является $(-\infty; -2)$. Это и есть решение системы.
Ответ: Решением системы нелинейных неравенств с одной переменной является множество всех значений переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. Это множество находится как пересечение множеств решений всех неравенств, входящих в систему.

2. Сколько решений может иметь система нелинейных неравенств с одной переменной?
Система нелинейных неравенств с одной переменной может иметь:
1. Ни одного решения (пустое множество). Это происходит, когда множества решений отдельных неравенств не имеют общих точек.
Пример: $ \begin{cases} x^2 < 1 \\ x^2 > 4 \end{cases} $
Решение первого неравенства: $x \in (-1, 1)$. Решение второго: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Эти множества не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.
2. Конечное число решений. Это возможно, когда пересечение множеств решений сводится к одной или нескольким изолированным точкам.
Пример: $ \begin{cases} x^2 \le 0 \\ x^3 \ge 0 \end{cases} $
Единственное решение первого неравенства $x^2 \le 0$ — это $x=0$. Это значение удовлетворяет и второму неравенству ($0^3 \ge 0$). Таким образом, система имеет ровно одно решение: $x=0$.
3. Бесконечное множество решений. Это самый частый случай, когда решением является один или несколько числовых промежутков (интервалы, отрезки, лучи) или их объединение.
Пример: $ \begin{cases} \frac{1}{x} > 1 \\ x^2 < 4 \end{cases} $
Решение первого неравенства $\frac{1-x}{x} > 0$ — это интервал $x \in (0, 1)$. Решение второго неравенства $x^2 < 4$ — это интервал $x \in (-2, 2)$. Пересечение этих множеств — интервал $(0, 1)$, который содержит бесконечное число решений.
Ответ: Система нелинейных неравенств с одной переменной может не иметь решений (0 решений), иметь конечное число решений (одно, два и т.д.) или иметь бесконечное множество решений.

20.1. Решите системы неравенств (20.1–20.5):

1) $ \begin{cases} x^2 - 4 \le 0, \\ 3x - 2 < 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - 9 \le 0, \\ 2x - 5 < 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 9 > 0, \\ 3x - 2 \ge 0; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - 1 > 0, \\ 2x - 7 \le 0; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x^2 - 2x \le 0, \\ 2x - 5 < 0; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 2x - 9 \le 0, \\ 2x^2 - 5x < 0; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 3x - 7 \le 0, \\ -2x^2 + 5x \ge 0; \end{cases} $

8) $ \begin{cases} 2x - 4,6 \le 0, \\ 2x^2 - 7x \le 0; \end{cases} $

9) $ \begin{cases} 1,2x - 9 \le 0, \\ -3x^2 - 5x \ge 0; \end{cases} $

10) $ \begin{cases} 2x - 6,9 \le 0, \\ -2x^2 + 7x < 0; \end{cases} $

11) $ \begin{cases} 3x - 8,9 < 0, \\ 2,5x^2 - 9x < 0; \end{cases} $

12) $ \begin{cases} 4x - 16,8 \le 0, \\ -4x^2 + 7x \ge 0. \end{cases} $

1)Решим первое неравенство системы: $x^2 - 4 \le 0$. Найдём корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$, которые равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, неравенство выполняется на промежутке между корнями: $x \in [-2, 2]$.Далее решим второе неравенство: $3x - 2 < 0$. Переносим $-2$ в правую часть и делим на 3: $3x < 2$, откуда $x < \frac{2}{3}$. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, \frac{2}{3})$.Найдём пересечение полученных решений: $[-2, 2] \cap (-\infty, \frac{2}{3})$. Изобразим решения на числовой оси.

Пересечением является промежуток $x \in [-2, \frac{2}{3})$.

Ответ: $[-2, \frac{2}{3})$.

2)Решим первое неравенство: $x^2 - 9 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 9 = 0$ это $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-3, 3]$.Решим второе неравенство: $2x - 5 < 0$. Отсюда $2x < 5$, то есть $x < 2,5$. Решение: $x \in (-\infty, 2,5)$.Найдём пересечение решений: $[-3, 3] \cap (-\infty, 2,5)$. Изобразим на числовой оси.

Пересечением является промежуток $x \in [-3, 2,5)$.

Ответ: $[-3, 2,5)$.

3)Решим первое неравенство: $x^2 - 9 > 0$. Корни $x_1 = -3, x_2 = 3$. Ветви параболы вверх, значит решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.Решим второе неравенство: $3x - 2 \ge 0$. Отсюда $3x \ge 2$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$. Решение: $x \in [\frac{2}{3}, \infty)$.Найдём пересечение: $((-\infty, -3) \cup (3, \infty)) \cap [\frac{2}{3}, \infty)$.

Пересечением является промежуток $x \in (3, \infty)$.

Ответ: $(3, \infty)$.

4)Решим $x^2 - 1 > 0$. Корни $x_1 = -1, x_2 = 1$. Ветви вверх, решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.Решим $2x - 7 \le 0$. Отсюда $2x \le 7$, то есть $x \le 3,5$. Решение: $x \in (-\infty, 3,5]$.Найдём пересечение: $((-\infty, -1) \cup (1, \infty)) \cap (-\infty, 3,5]$.

Пересечение состоит из двух промежутков: $(-\infty, -1)$ и $(1, 3,5]$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (1, 3,5]$.

5)Решим $x^2 - 2x \le 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x-2) \le 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 2$. Ветви параболы вверх, решение: $x \in [0, 2]$.Решим $2x - 5 < 0$. Отсюда $2x < 5$, то есть $x < 2,5$. Решение: $x \in (-\infty, 2,5)$.Найдём пересечение: $[0, 2] \cap (-\infty, 2,5)$.

Пересечением является промежуток $x \in [0, 2]$.

Ответ: $[0, 2]$.

6)Решим $2x - 9 \le 0$. Отсюда $2x \le 9$, то есть $x \le 4,5$. Решение: $x \in (-\infty, 4,5]$.Решим $2x^2 - 5x < 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(2x-5) < 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 2,5$. Ветви параболы вверх, решение: $x \in (0, 2,5)$.Найдём пересечение: $(-\infty, 4,5] \cap (0, 2,5)$.

Пересечением является промежуток $x \in (0, 2,5)$.

Ответ: $(0, 2,5)$.

7)Решим $3x - 7 \le 0$. Отсюда $3x \le 7$, то есть $x \le \frac{7}{3}$. Решение: $x \in (-\infty, \frac{7}{3}]$.Решим $-2x^2 + 5x \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $2x^2 - 5x \le 0$. Вынесем $x$: $x(2x-5) \le 0$. Корни $x_1=0, x_2=2,5$. Ветви вверх, решение: $x \in [0, 2,5]$.Найдём пересечение: $(-\infty, \frac{7}{3}] \cap [0, 2,5]$. Заметим, что $\frac{7}{3} \approx 2,33$.

Пересечением является промежуток $x \in [0, \frac{7}{3}]$.

Ответ: $[0, \frac{7}{3}]$.

8)Решим $2x - 4,6 < 0$. Отсюда $2x < 4,6$, то есть $x < 2,3$. Решение: $x \in (-\infty, 2,3)$.Решим $2x^2 - 7x \le 0$. Вынесем $x$: $x(2x-7) \le 0$. Корни $x_1=0, x_2=3,5$. Ветви вверх, решение: $x \in [0, 3,5]$.Найдём пересечение: $(-\infty, 2,3) \cap [0, 3,5]$.

Пересечением является промежуток $x \in [0, 2,3)$.

Ответ: $[0, 2,3)$.

9)Решим $1,2x - 9 \le 0$. Отсюда $1,2x \le 9$, $x \le \frac{9}{1,2} = 7,5$. Решение: $x \in (-\infty, 7,5]$.Решим $-3x^2 - 5x \ge 0$. Умножим на -1: $3x^2 + 5x \le 0$. Вынесем $x$: $x(3x+5) \le 0$. Корни $x_1=-\frac{5}{3}, x_2=0$. Ветви вверх, решение: $x \in [-\frac{5}{3}, 0]$.Найдём пересечение: $(-\infty, 7,5] \cap [-\frac{5}{3}, 0]$.

Пересечением является промежуток $x \in [-\frac{5}{3}, 0]$.

Ответ: $[-\frac{5}{3}, 0]$.

10)Решим $2x - 6,9 \le 0$. Отсюда $2x \le 6,9$, $x \le 3,45$. Решение: $x \in (-\infty, 3,45]$.Решим $-2x^2 + 7x < 0$. Умножим на -1: $2x^2 - 7x > 0$. Вынесем $x$: $x(2x-7) > 0$. Корни $x_1=0, x_2=3,5$. Ветви вверх, решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (3,5, \infty)$.Найдём пересечение: $(-\infty, 3,45] \cap ((-\infty, 0) \cup (3,5, \infty))$.

Пересечением является промежуток $x \in (-\infty, 0)$.

Ответ: $(-\infty, 0)$.

11)Решим $3x - 8,9 < 0$. Отсюда $3x < 8,9$, $x < \frac{8,9}{3} = \frac{89}{30}$. Решение: $x \in (-\infty, \frac{89}{30})$.Решим $2,5x^2 - 9x < 0$. Вынесем $x$: $x(2,5x - 9) < 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = \frac{9}{2,5} = 3,6$. Ветви вверх, решение: $x \in (0, 3,6)$.Найдём пересечение: $(-\infty, \frac{89}{30}) \cap (0, 3,6)$. Заметим, что $\frac{89}{30} \approx 2,97$.

Пересечением является промежуток $x \in (0, \frac{89}{30})$.

Ответ: $(0, \frac{89}{30})$.

12)Решим $4x - 16,8 \le 0$. Отсюда $4x \le 16,8$, $x \le \frac{16,8}{4} = 4,2$. Решение: $x \in (-\infty, 4,2]$.Решим $-4x^2 + 7x \ge 0$. Умножим на -1: $4x^2 - 7x \le 0$. Вынесем $x$: $x(4x-7) \le 0$. Корни $x_1=0, x_2=\frac{7}{4}=1,75$. Ветви вверх, решение: $x \in [0, 1,75]$.Найдём пересечение: $(-\infty, 4,2] \cap [0, 1,75]$.

Пересечением является промежуток $x \in [0, 1,75]$.

Ответ: $[0, 1,75]$.