Страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.15. Решите неравенство:

1) $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0;$

2) $x^4 - 2x^2 - 15 \le 0;$

3) $x^4 - 12x^2 + 36 > 0;$

4) $16x^4 - 24x^2 + 9 < 0;$

5) $(x^2 - 4x + 4) (3x^2 - 2x - 1) \le 0;$

6) $(x^2 - 6x + 8) (9x^2 - 6x + 1) < 0;$

7) $(x^2 - 5x + 6) (x^2 + 3x)^2 > 0;$

8) $(5x^2 + 6x + 1) (x^4 - 6x^3 + 9x^2) \le 0;$

9) $\frac{x^2 + 4x - 1}{x^2 + 4x + 3} \le \frac{1}{x + 1};$

10) $\frac{x^2 - x + 6}{x^2 - 3x + 2} \le \frac{2x}{x - 2};$

11) $\frac{x^2 - 5x + 11}{x^2 - x - 2} \le - \frac{7}{x + 1};$

12) $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} \le - \frac{8}{x - 5}.$

1)

Дано биквадратное неравенство $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$.

Введем замену переменной $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$: $t^2 - 13t + 36 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 13t + 36 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 13t + 36$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 13t + 36 \le 0$ выполняется между корнями: $4 \le t \le 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

$4 \le x^2 \le 9$.

Это двойное неравенство равносильно системе $\begin{cases} x^2 \ge 4 \\ x^2 \le 9 \end{cases}$.

Решением первого неравенства $x^2 - 4 \ge 0$ или $(x-2)(x+2) \ge 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Решением второго неравенства $x^2 - 9 \le 0$ или $(x-3)(x+3) \le 0$ является отрезок $[-3, 3]$.

Найдем пересечение этих решений: $( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) ) \cap [-3, 3]$.

Пересечение дает $[-3, -2] \cup [2, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$.

2)

Дано биквадратное неравенство $x^4 - 2x^2 - 15 \le 0$.

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем $t^2 - 2t - 15 \le 0$.

Корни уравнения $t^2 - 2t - 15 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 5$.

Решение неравенства $(t+3)(t-5) \le 0$ есть отрезок $[-3, 5]$.

С учетом условия $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 5$.

Возвращаемся к $x$: $0 \le x^2 \le 5$.

Неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для всех $x$.

Неравенство $x^2 \le 5$ или $x^2 - 5 \le 0$ имеет решение $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Пересечение этих решений дает $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

3)

Дано неравенство $x^4 - 12x^2 + 36 > 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(x^2 - 6)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, строго положителен.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, для которых $x^2 - 6 \ne 0$.

$x^2 \ne 6$, что означает $x \ne \sqrt{6}$ и $x \ne -\sqrt{6}$.

Таким образом, решение - это вся числовая прямая, за исключением точек $-\sqrt{6}$ и $\sqrt{6}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$.

4)

Дано неравенство $16x^4 - 24x^2 + 9 < 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(4x^2 - 3)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(4x^2 - 3)^2 \ge 0$ для всех $x$.

Следовательно, неравенство $(4x^2 - 3)^2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

5)

Дано неравенство $(x^2 - 4x + 4)(3x^2 - 2x - 1) \le 0$.

Разложим множители на множители. Первый множитель: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Для второго множителя $3x^2 - 2x - 1$ найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 1=0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16$. Корни $x_1 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{2+4}{6} = 1$.

Тогда $3x^2 - 2x - 1 = 3(x+\frac{1}{3})(x-1)$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)^2 \cdot 3(x+\frac{1}{3})(x-1) \le 0$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:

1. Если $x=2$, то $(2-2)^2 = 0$, и неравенство становится $0 \le 0$, что верно. Значит, $x=2$ является решением.

2. Если $x \ne 2$, то $(x-2)^2 > 0$. Можно разделить обе части на $3(x-2)^2$, знак неравенства не изменится: $(x+\frac{1}{3})(x-1) \le 0$.

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[-\frac{1}{3}, 1]$.

Объединяя оба случая, получаем решение: $[-\frac{1}{3}, 1] \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}, 1] \cup \{2\}$.

6)

Дано неравенство $(x^2 - 6x + 8)(9x^2 - 6x + 1) < 0$.

Разложим на множители. Первый множитель: $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.

Второй множитель: $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)(x-4)(3x-1)^2 < 0$.

Множитель $(3x-1)^2$ неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $(3x-1)^2 > 0$, что означает $3x-1 \ne 0$, или $x \ne \frac{1}{3}$.

При $x \ne \frac{1}{3}$ можно разделить неравенство на $(3x-1)^2 > 0$:

$(x-2)(x-4) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $(2, 4)$.

Значение $x = \frac{1}{3}$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительных исключений не требуется.

Ответ: $x \in (2, 4)$.

7)

Дано неравенство $(x^2 - 5x + 6)(x^2 + 3x)^2 > 0$.

Разложим на множители. Первый множитель: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Второй множитель: $(x^2 + 3x)^2 = (x(x+3))^2 = x^2(x+3)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)(x-3)x^2(x+3)^2 > 0$.

Множители $x^2$ и $(x+3)^2$ неотрицательны. Для выполнения строгого неравенства они должны быть строго положительны.

Это требует $x^2 > 0 \implies x \ne 0$ и $(x+3)^2 > 0 \implies x \ne -3$.

При этих условиях можно разделить неравенство на $x^2(x+3)^2 > 0$:

$(x-2)(x-3) > 0$.

Решением этого неравенства является $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Теперь нужно исключить из этого решения точки $x=0$ и $x=-3$.

Получаем: $(-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 2) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 2) \cup (3, \infty)$.

8)

Дано неравенство $(5x^2 + 6x + 1)(x^4 - 6x^3 + 9x^2) \le 0$.

Разложим на множители. Первый множитель $5x^2+6x+1$: корни уравнения $5x^2+6x+1=0$ это $x_1=-1, x_2=-1/5$. Значит, $5x^2+6x+1 = 5(x+1)(x+1/5)$.

Второй множитель: $x^4 - 6x^3 + 9x^2 = x^2(x^2 - 6x + 9) = x^2(x-3)^2$.

Неравенство принимает вид: $5(x+1)(x+1/5)x^2(x-3)^2 \le 0$.

Множитель $x^2(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:

1. Если $x=0$ или $x=3$, то левая часть равна нулю, и неравенство $0 \le 0$ выполняется. Значит, $x=0$ и $x=3$ являются решениями.

2. Если $x \ne 0$ и $x \ne 3$, то $x^2(x-3)^2 > 0$. Можно разделить неравенство на $5x^2(x-3)^2 > 0$:

$(x+1)(x+1/5) \le 0$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-1, -1/5]$.

Объединяя оба случая, получаем решение: $[-1, -1/5] \cup \{0, 3\}$.

Ответ: $x \in [-1, -1/5] \cup \{0, 3\}$.

9)

Дано неравенство $\frac{x^2 + 4x - 1}{x^2 + 4x + 3} \le \frac{1}{x+1}$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю. Знаменатель $x^2 + 4x + 3$ раскладывается как $(x+1)(x+3)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne -1, x \ne -3$.

$\frac{x^2 + 4x - 1}{(x+1)(x+3)} - \frac{1}{x+1} \le 0$

$\frac{x^2 + 4x - 1}{(x+1)(x+3)} - \frac{1 \cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)} \le 0$

$\frac{x^2 + 4x - 1 - (x+3)}{(x+1)(x+3)} \le 0$

$\frac{x^2 + 3x - 4}{(x+1)(x+3)} \le 0$

Разложим числитель на множители: $x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$.

$\frac{(x+4)(x-1)}{(x+1)(x+3)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя (нули функции): $x=-4, x=1$. Корни знаменателя (точки разрыва): $x=-1, x=-3$.

Отметим точки на числовой оси: -4, -3, -1, 1.

Интервалы и знаки выражения: $(-\infty, -4]: +$; $[-4, -3): -$; $(-3, -1): +$; $(-1, 1]: -$; $[1, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "минус", включая нули числителя и исключая нули знаменателя.

Получаем: $[-4, -3) \cup (-1, 1]$.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-1, 1]$.

10)

Дано неравенство $\frac{x^2 - x + 6}{x^2 - 3x + 2} \le \frac{2x}{x-2}$.

Разложим знаменатель $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$. ОДЗ: $x \ne 1, x \ne 2$.

$\frac{x^2 - x + 6}{(x-1)(x-2)} - \frac{2x}{x-2} \le 0$

$\frac{x^2 - x + 6}{(x-1)(x-2)} - \frac{2x(x-1)}{(x-1)(x-2)} \le 0$

$\frac{x^2 - x + 6 - 2x^2 + 2x}{(x-1)(x-2)} \le 0$

$\frac{-x^2 + x + 6}{(x-1)(x-2)} \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - x - 6}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

Разложим числитель: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Корни: -2, 1, 2, 3.

Интервалы и знаки: $(-\infty, -2]: +$; $[-2, 1): -$; $(1, 2): +$; $(2, 3]: -$; $[3, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая нули числителя и исключая нули знаменателя.

Получаем: $(-\infty, -2] \cup (1, 2) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup (1, 2) \cup [3, \infty)$.

11)

Дано неравенство $\frac{x^2 - 5x + 11}{x^2 - x - 2} \le - \frac{7}{x+1}$.

Перенесем все влево: $\frac{x^2 - 5x + 11}{x^2 - x - 2} + \frac{7}{x+1} \le 0$.

Разложим знаменатель $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. ОДЗ: $x \ne 2, x \ne -1$.

$\frac{x^2 - 5x + 11}{(x-2)(x+1)} + \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+1)} \le 0$

$\frac{x^2 - 5x + 11 + 7x - 14}{(x-2)(x+1)} \le 0$

$\frac{x^2 + 2x - 3}{(x-2)(x+1)} \le 0$

Разложим числитель: $x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$.

$\frac{(x+3)(x-1)}{(x-2)(x+1)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни: -3, -1, 1, 2.

Интервалы и знаки: $(-\infty, -3]: +$; $[-3, -1): -$; $(-1, 1]: +$; $[1, 2): -$; $(2, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Получаем: $[-3, -1) \cup [1, 2)$.

Ответ: $x \in [-3, -1) \cup [1, 2)$.

12)

Дано неравенство $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} \le - \frac{8}{x-5}$.

Перенесем все влево: $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} + \frac{8}{x-5} \le 0$.

Разложим знаменатель $x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$. ОДЗ: $x \ne 3, x \ne 5$.

$\frac{x^2 + 3x + 54}{(x-3)(x-5)} + \frac{8(x-3)}{(x-3)(x-5)} \le 0$

$\frac{x^2 + 3x + 54 + 8x - 24}{(x-3)(x-5)} \le 0$

$\frac{x^2 + 11x + 30}{(x-3)(x-5)} \le 0$

Разложим числитель: $x^2 + 11x + 30 = (x+6)(x+5)$.

$\frac{(x+6)(x+5)}{(x-3)(x-5)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни: -6, -5, 3, 5.

Интервалы и знаки: $(-\infty, -6]: +$; $[-6, -5]: -$; $[-5, 3): +$; $(3, 5): -$; $(5, \infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Получаем: $[-6, -5] \cup (3, 5)$.

Ответ: $x \in [-6, -5] \cup (3, 5)$.

19.16. При каких значениях переменной $x$ принимает неотрицательные значения функция $y$:

1) $y = \frac{x^4 + 3x^2 - 10}{x^2 - 2x - 8}$;

2) $y = \frac{x^4 - 3x^2 - 10}{x^2 + 2x - 8}$;

3) $y = \frac{x^4 + 2x^2 - 8}{x^2 - 3x - 10}$?

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых функция $y$ принимает неотрицательные значения, необходимо решить неравенство $y \ge 0$ для каждого случая.

1) $y = \frac{x^4 + 3x^2 - 10}{x^2 - 2x - 8}$

Решаем неравенство: $\frac{x^4 + 3x^2 - 10}{x^2 - 2x - 8} \ge 0$.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Для числителя $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$ сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2 + 3t - 10 = 0$. Его корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = 2$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $x^2 = 2$, откуда $x = \pm\sqrt{2}$. Числитель можно разложить на множители: $(x^2 - 2)(x^2 + 5)$.

Для знаменателя $x^2 - 2x - 8 = 0$ найдем корни. По теореме Виета, это $x = 4$ и $x = -2$. Знаменатель раскладывается на множители: $(x - 4)(x + 2)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x^2 - 2)(x^2 + 5)}{(x - 4)(x + 2)} \ge 0$.

Поскольку выражение $x^2 + 5$ всегда положительно, мы можем упростить неравенство до: $\frac{x^2 - 2}{(x - 4)(x + 2)} \ge 0$, что равносильно $\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{(x - 4)(x + 2)} \ge 0$.

Применим метод интервалов. Отметим на числовой оси точки $x = -2, x = -\sqrt{2}, x = \sqrt{2}, x = 4$. Точки $x = -2$ и $x = 4$ (корни знаменателя) будут выколотыми, а точки $x = \pm\sqrt{2}$ (корни числителя) — закрашенными.

Определив знаки выражения на каждом интервале, получим, что выражение неотрицательно при $x \in (-\infty, -2) \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (4, +\infty)$.

2) $y = \frac{x^4 - 3x^2 - 10}{x^2 + 2x - 8}$

Решаем неравенство: $\frac{x^4 - 3x^2 - 10}{x^2 + 2x - 8} \ge 0$.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Для числителя $x^4 - 3x^2 - 10 = 0$ сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получаем $t^2 - 3t - 10 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$. Условию $t \ge 0$ удовлетворяет $t = 5$. Следовательно, $x^2 = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$. Числитель раскладывается на множители: $(x^2 - 5)(x^2 + 2)$.

Для знаменателя $x^2 + 2x - 8 = 0$ корнями являются $x = 2$ и $x = -4$. Знаменатель раскладывается на множители: $(x - 2)(x + 4)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x^2 - 5)(x^2 + 2)}{(x - 2)(x + 4)} \ge 0$.

Выражение $x^2 + 2$ всегда положительно, поэтому неравенство можно свести к: $\frac{x^2 - 5}{(x - 2)(x + 4)} \ge 0$, или $\frac{(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{(x - 2)(x + 4)} \ge 0$.

С помощью метода интервалов, отметив на оси точки $x = -4, x = -\sqrt{5}, x = 2, x = \sqrt{5}$ (где $\sqrt{5} \approx 2.24$), находим решение. Точки $x = -4, x = 2$ выколоты.

Выражение неотрицательно при $x \in (-\infty, -4) \cup [-\sqrt{5}, 2) \cup [\sqrt{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [-\sqrt{5}, 2) \cup [\sqrt{5}, +\infty)$.

3) $y = \frac{x^4 + 2x^2 - 8}{x^2 - 3x - 10}$

Решаем неравенство: $\frac{x^4 + 2x^2 - 8}{x^2 - 3x - 10} \ge 0$.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Для числителя $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$ сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получаем $t^2 + 2t - 8 = 0$. Корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$. Подходит $t = 2$. Значит, $x^2 = 2$ и $x = \pm\sqrt{2}$. Числитель раскладывается на множители: $(x^2 - 2)(x^2 + 4)$.

Для знаменателя $x^2 - 3x - 10 = 0$ корнями являются $x = 5$ и $x = -2$. Знаменатель раскладывается на множители: $(x - 5)(x + 2)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x^2 - 2)(x^2 + 4)}{(x - 5)(x + 2)} \ge 0$.

Так как $x^2 + 4$ всегда положительно, получаем эквивалентное неравенство: $\frac{x^2 - 2}{(x - 5)(x + 2)} \ge 0$, или $\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{(x - 5)(x + 2)} \ge 0$.

Используя метод интервалов с точками $x = -2, x = -\sqrt{2}, x = \sqrt{2}, x = 5$ (где точки $x=-2, x=5$ выколоты), находим решение.

Выражение неотрицательно при $x \in (-\infty, -2) \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (5, +\infty)$.

19.17. При каких значениях переменной $x$ принимает положительные значения функция $y$:

1) $y = \frac{x^4 - 8x^2 - 9}{x^2 - 2x + 1};$

2) $y = \frac{x^4 - x^2 - 20}{x^2 + 3x - 10};$

3) $y = \frac{x^4 + x^2 - 20}{x^2 - x - 12}?$

1) Для функции $y = \frac{x^4 - 8x^2 - 9}{x^2 - 2x + 1}$

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$:

$\frac{x^4 - 8x^2 - 9}{x^2 - 2x + 1} > 0$

Знаменатель дроби $x^2 - 2x + 1$ представляет собой полный квадрат $(x-1)^2$. Это выражение всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x=1$ и положительно при всех остальных значениях $x$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — $x \neq 1$.

Поскольку знаменатель $(x-1)^2$ положителен для всех $x$ из ОДЗ, знак дроби совпадает со знаком числителя. Следовательно, нам нужно решить неравенство:

$x^4 - 8x^2 - 9 > 0$

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.

$t^2 - 8t - 9 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 8t - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.

Разложим трехчлен на множители: $(t-9)(t+1) > 0$.

Учитывая условие $t \ge 0$, множитель $(t+1)$ всегда будет положительным. Поэтому неравенство сводится к $t-9 > 0$, то есть $t > 9$.

Выполним обратную замену:

$x^2 > 9$

Это неравенство эквивалентно $x^2 - 9 > 0$, или $(x-3)(x+3) > 0$. Решением является совокупность $x < -3$ или $x > 3$.

Это решение $x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$ не содержит точку $x=1$, поэтому оно полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x^4 - x^2 - 20}{x^2 + 3x - 10}$

Решаем неравенство $\frac{x^4 - x^2 - 20}{x^2 + 3x - 10} > 0$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^4 - x^2 - 20$: замена $t = x^2$ ($t \ge 0$) приводит к $t^2 - t - 20$. Корни уравнения $t^2 - t - 20 = 0$ — это $t_1=5$ и $t_2=-4$. Так как $t \ge 0$, корень $t_2=-4$ не подходит. Значит, $t^2 - t - 20 = (t-5)(t+4)$. Возвращаясь к $x$, получаем $(x^2-5)(x^2+4)$. Множитель $(x^2+4)$ всегда положителен. Значит, числитель можно представить как $(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x^2+4)$.

Знаменатель $x^2 + 3x - 10$: корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$ — это $x_1=2$ и $x_2=-5$. Значит, $x^2 + 3x - 10 = (x-2)(x+5)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x^2+4)}{(x-2)(x+5)} > 0$.

Так как $x^2+4 > 0$, мы можем сократить его, получив $\frac{(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})}{(x-2)(x+5)} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $\pm\sqrt{5}$. Нули знаменателя: $2, -5$. Расположим их на числовой оси в порядке возрастания: $-5, -\sqrt{5}, 2, \sqrt{5}$ (так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5}$).

Эти точки разбивают ось на пять интервалов. Определим знак выражения в каждом из них. На интервале $(\sqrt{5}, +\infty)$ выражение положительно. На $(2, \sqrt{5})$ — отрицательно. На $(-\sqrt{5}, 2)$ — положительно. На $(-5, -\sqrt{5})$ — отрицательно. На $(-\infty, -5)$ — положительно.

Нам нужны интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-\sqrt{5}, 2) \cup (\sqrt{5}, \infty)$.

3) Для функции $y = \frac{x^4 + x^2 - 20}{x^2 - x - 12}$

Решаем неравенство $\frac{x^4 + x^2 - 20}{x^2 - x - 12} > 0$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^4 + x^2 - 20$: замена $t = x^2$ ($t \ge 0$) приводит к $t^2 + t - 20$. Корни уравнения $t^2 + t - 20 = 0$ — это $t_1=4$ и $t_2=-5$. Так как $t \ge 0$, корень $t_2=-5$ не подходит. Значит, $t^2 + t - 20 = (t-4)(t+5)$. Возвращаясь к $x$, получаем $(x^2-4)(x^2+5)$. Множитель $(x^2+5)$ всегда положителен. Значит, числитель можно представить как $(x-2)(x+2)(x^2+5)$.

Знаменатель $x^2 - x - 12$: корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ — это $x_1=4$ и $x_2=-3$. Значит, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x+2)(x^2+5)}{(x-4)(x+3)} > 0$.

Так как $x^2+5 > 0$, мы можем сократить его, получив $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+3)} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $\pm 2$. Нули знаменателя: $4, -3$. Расположим их на числовой оси в порядке возрастания: $-3, -2, 2, 4$.

Эти точки разбивают ось на пять интервалов. Определим знак выражения в каждом из них. На интервале $(4, +\infty)$ выражение положительно. На $(2, 4)$ — отрицательно. На $(-2, 2)$ — положительно. На $(-3, -2)$ — отрицательно. На $(-\infty, -3)$ — положительно.

Нам нужны интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, 2) \cup (4, \infty)$.

19.18. Решите методом интервалов неравенство:

1) $\frac{(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 8)^2}{(x + 2)^2 (5 - x)} \le 0;$

2) $ \frac{(x^2 - 6x + 8) \cdot (x^2 - 4)}{2(x^3 - 8)} \ge 0;$

3) $\frac{(2x^2 + 4x) \cdot (3x - x^2)}{(2x + 5)^2} \le 0;$

4) $\frac{(x + 4)^4 \cdot (x + 3)^3}{2(x^2 + x - 2)} \ge 0;$

5) $\frac{3x + 7}{5 - x^2} \cdot (x - 3)^2 > 0;$

6) $\frac{2x - 7}{9 - x^2} \cdot (x - 4)^2 < 0;$

7) $\frac{2x - 9}{7 - x^2} \cdot (4x - 3)^2 \le 0;$

8) $\frac{5 - 2x}{4 - x^2} \cdot (x - 3)^2 \ge 0;$

9) $\frac{3x + 7}{4 - x^2} \cdot (x + 6) \cdot (x - 3)^2 > 0;$

$\frac{5x - 8}{16 - x^2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)^2 < 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 8)^2}{(x + 2)^2 (5 - x)} \le 0$.

Сначала найдем корни числителя и знаменателя.
1. Числитель: $(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 8)^2 = 0$.
Квадратное уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$ по теореме Виета имеет корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.
Уравнение $(x - 8)^2 = 0$ имеет корень $x_3 = 8$ кратности 2.
Таким образом, числитель равен $(x - 8)(x + 1)(x - 8)^2 = (x+1)(x-8)^3$. Нули числителя: $x = -1$ (кратность 1) и $x = 8$ (кратность 3).
2. Знаменатель: $(x + 2)^2 (5 - x) = 0$.
Корни: $x = -2$ (кратность 2) и $x = 5$ (кратность 1).
Точки, в которых знаменатель равен нулю, выкалываются из решения. Это $x \ne -2$ и $x \ne 5$.
Точки, в которых числитель равен нулю, включаются в решение, так как неравенство нестрогое. Это $x = -1$ и $x = 8$.
Критические точки: -2, -1, 5, 8.
Определим знаки выражения на интервалах, подставляя пробные точки в исходное неравенство $f(x) = \frac{(x+1)(x-8)^3}{(x+2)^2(5-x)}$.
При $x > 8$ (например, $x=10$): $f(10) = \frac{(+)(+)^3}{(+)^2(-)} < 0$.
При $5 < x < 8$ (например, $x=6$): $f(6) = \frac{(+)(-)^3}{(+)^2(-)} > 0$.
При $-1 < x < 5$ (например, $x=0$): $f(0) = \frac{(+)(-)^3}{(+)^2(+)} < 0$.
При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $f(-1.5) = \frac{(-)(-)^3}{(+)^2(+)} > 0$.
При $x < -2$ (например, $x=-3$): $f(-3) = \frac{(-)(-)^3}{(-)^2(+)} > 0$.
Нам нужны интервалы, где $f(x) \le 0$. Это интервалы со знаком "минус" и точки, где числитель равен нулю.

Ответ: $x \in [-1, 5) \cup [8, \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 6x + 8)(x^2 - 4)}{2(x^3 - 8)} \ge 0$.

Разложим на множители:
$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
$x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. Выражение $x^2+2x+4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 4 - 16 = -12 < 0$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x-4)(x-2)(x+2)}{2(x-2)(x^2+2x+4)} \ge 0$.
Область допустимых значений: $x^3-8 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$.
При $x \ne 2$ можно сократить дробь на $(x-2)$: $\frac{(x-2)(x-4)(x+2)}{2(x^2+2x+4)} \ge 0$.
Так как $2(x^2+2x+4) > 0$ для всех $x$, то неравенство равносильно $(x-2)(x-4)(x+2) \ge 0$ при условии $x \ne 2$.
Критические точки: -2, 2, 4.
Определим знаки на интервалах для $f(x)=(x-2)(x-4)(x+2)$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс". Точки -2 и 4 включаем, точку 2 выкалываем.

Ответ: $x \in [-2, 2) \cup [4, \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{(2x^2 + 4x)(3x - x^2)}{(2x + 5)^2} \le 0$.

Разложим на множители:
$2x^2 + 4x = 2x(x+2)$.
$3x - x^2 = x(3-x) = -x(x-3)$.
Неравенство: $\frac{2x(x+2)(-x(x-3))}{(2x+5)^2} \le 0 \Rightarrow \frac{-2x^2(x+2)(x-3)}{(2x+5)^2} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{2x^2(x+2)(x-3)}{(2x+5)^2} \ge 0$.
Критические точки:
Нули числителя: $x=0$ (кратность 2), $x=-2$ (кратность 1), $x=3$ (кратность 1). Точки -2, 0, 3 включаются в решение.
Нули знаменателя: $x=-2.5$ (кратность 2). Точка -2.5 исключается.
Расставим точки -2.5, -2, 0, 3 на прямой. При переходе через точки с четной кратностью (0 и -2.5) знак не меняется.

Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю. Точка $x=0$ является решением.

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (-2.5, -2] \cup \{0\} \cup [3, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x+4)^4 (x+3)^3}{2(x^2 + x - 2)} \ge 0$.

Разложим знаменатель: $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$.
Неравенство: $\frac{(x+4)^4 (x+3)^3}{2(x+2)(x-1)} \ge 0$.
Критические точки:
Нули числителя: $x=-4$ (кратность 4), $x=-3$ (кратность 3). Точки -4, -3 включаются.
Нули знаменателя: $x=-2$ (кратность 1), $x=1$ (кратность 1). Точки -2, 1 исключаются.
Расставим точки -4, -3, -2, 1 на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=-4$ (четная кратность).

Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю. Точка $x=-4$ является решением.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [-3, -2) \cup (1, \infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{3x+7}{5-x^2} \cdot (x-3)^2 > 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(3x+7)(x-3)^2}{-(x^2-5)} > 0$.
Умножим на -1: $\frac{(3x+7)(x-3)^2}{x^2-5} < 0 \Rightarrow \frac{(3x+7)(x-3)^2}{(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})} < 0$.
Критические точки, все выколотые: $x=-7/3 \approx -2.33$, $x=-\sqrt{5} \approx -2.23$, $x=\sqrt{5} \approx 2.23$, $x=3$.
Кратность корней: $x=3$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки $-7/3, -\sqrt{5}, \sqrt{5}, 3$ на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=3$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-\infty, -7/3) \cup (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.

6) Решим неравенство $\frac{2x-7}{9-x^2} \cdot (x-4)^2 < 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(2x-7)(x-4)^2}{-(x^2-9)} < 0$.
Умножим на -1: $\frac{(2x-7)(x-4)^2}{x^2-9} > 0 \Rightarrow \frac{(2x-7)(x-4)^2}{(x-3)(x+3)} > 0$.
Критические точки, все выколотые: $x=-3$, $x=3$, $x=3.5$, $x=4$.
Кратность корней: $x=4$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=4$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-3, 3) \cup (3.5, 4) \cup (4, \infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{2x-9}{7-x^2} \cdot (4x-3)^2 \le 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(2x-9)(4x-3)^2}{-(x^2-7)} \le 0$.
Умножим на -1: $\frac{(2x-9)(4x-3)^2}{x^2-7} \ge 0 \Rightarrow \frac{(2x-9)(4x-3)^2}{(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})} \ge 0$.
Критические точки: $x=-\sqrt{7}$ (выколотая), $x=3/4=0.75$ (включенная), $x=\sqrt{7}$ (выколотая), $x=9/2=4.5$ (включенная).
Кратность корней: $x=3/4$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=3/4$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю. Точка $x=0.75$ объединяет два соседних интервала.

Ответ: $x \in (-\sqrt{7}, \sqrt{7}) \cup [4.5, \infty)$.

8) Решим неравенство $\frac{5-2x}{4-x^2} \cdot (x-3)^2 \ge 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{-(2x-5)(x-3)^2}{-(x^2-4)} \ge 0 \Rightarrow \frac{(2x-5)(x-3)^2}{(x-2)(x+2)} \ge 0$.
Критические точки: $x=-2$ (выколотая), $x=2$ (выколотая), $x=2.5$ (включенная), $x=3$ (включенная).
Кратность корней: $x=3$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=3$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю. Точка $x=3$ объединяет два соседних интервала.

Ответ: $x \in (-2, 2) \cup [2.5, \infty)$.

9) Решим неравенство $\frac{3x+7}{4-x^2} \cdot (x+6) \cdot (x-3)^2 > 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(3x+7)(x+6)(x-3)^2}{-(x^2-4)} > 0$.
Умножим на -1: $\frac{(3x+7)(x+6)(x-3)^2}{x^2-4} < 0 \Rightarrow \frac{(3x+7)(x+6)(x-3)^2}{(x-2)(x+2)} < 0$.
Критические точки, все выколотые: $x=-6$, $x=-7/3 \approx -2.33$, $x=-2$, $x=2$, $x=3$.
Кратность корней: $x=3$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=3$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-6, -7/3) \cup (-2, 2)$.

10) Решим неравенство $\frac{5x-8}{16-x^2} \cdot (x+2) \cdot (x-5)^2 < 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(5x-8)(x+2)(x-5)^2}{-(x^2-16)} < 0$.
Умножим на -1: $\frac{(5x-8)(x+2)(x-5)^2}{x^2-16} > 0 \Rightarrow \frac{(5x-8)(x+2)(x-5)^2}{(x-4)(x+4)} > 0$.
Критические точки, все выколотые: $x=-4$, $x=-2$, $x=8/5=1.6$, $x=4$, $x=5$.
Кратность корней: $x=5$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=5$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2, 1.6) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$.