Номер 19.18, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.18. Решите методом интервалов неравенство:

1) $\frac{(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 8)^2}{(x + 2)^2 (5 - x)} \le 0;$

2) $ \frac{(x^2 - 6x + 8) \cdot (x^2 - 4)}{2(x^3 - 8)} \ge 0;$

3) $\frac{(2x^2 + 4x) \cdot (3x - x^2)}{(2x + 5)^2} \le 0;$

4) $\frac{(x + 4)^4 \cdot (x + 3)^3}{2(x^2 + x - 2)} \ge 0;$

5) $\frac{3x + 7}{5 - x^2} \cdot (x - 3)^2 > 0;$

6) $\frac{2x - 7}{9 - x^2} \cdot (x - 4)^2 < 0;$

7) $\frac{2x - 9}{7 - x^2} \cdot (4x - 3)^2 \le 0;$

8) $\frac{5 - 2x}{4 - x^2} \cdot (x - 3)^2 \ge 0;$

9) $\frac{3x + 7}{4 - x^2} \cdot (x + 6) \cdot (x - 3)^2 > 0;$

$\frac{5x - 8}{16 - x^2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)^2 < 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 8)^2}{(x + 2)^2 (5 - x)} \le 0$.

Сначала найдем корни числителя и знаменателя.
1. Числитель: $(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 8)^2 = 0$.
Квадратное уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$ по теореме Виета имеет корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.
Уравнение $(x - 8)^2 = 0$ имеет корень $x_3 = 8$ кратности 2.
Таким образом, числитель равен $(x - 8)(x + 1)(x - 8)^2 = (x+1)(x-8)^3$. Нули числителя: $x = -1$ (кратность 1) и $x = 8$ (кратность 3).
2. Знаменатель: $(x + 2)^2 (5 - x) = 0$.
Корни: $x = -2$ (кратность 2) и $x = 5$ (кратность 1).
Точки, в которых знаменатель равен нулю, выкалываются из решения. Это $x \ne -2$ и $x \ne 5$.
Точки, в которых числитель равен нулю, включаются в решение, так как неравенство нестрогое. Это $x = -1$ и $x = 8$.
Критические точки: -2, -1, 5, 8.
Определим знаки выражения на интервалах, подставляя пробные точки в исходное неравенство $f(x) = \frac{(x+1)(x-8)^3}{(x+2)^2(5-x)}$.
При $x > 8$ (например, $x=10$): $f(10) = \frac{(+)(+)^3}{(+)^2(-)} < 0$.
При $5 < x < 8$ (например, $x=6$): $f(6) = \frac{(+)(-)^3}{(+)^2(-)} > 0$.
При $-1 < x < 5$ (например, $x=0$): $f(0) = \frac{(+)(-)^3}{(+)^2(+)} < 0$.
При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $f(-1.5) = \frac{(-)(-)^3}{(+)^2(+)} > 0$.
При $x < -2$ (например, $x=-3$): $f(-3) = \frac{(-)(-)^3}{(-)^2(+)} > 0$.
Нам нужны интервалы, где $f(x) \le 0$. Это интервалы со знаком "минус" и точки, где числитель равен нулю.

Ответ: $x \in [-1, 5) \cup [8, \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 6x + 8)(x^2 - 4)}{2(x^3 - 8)} \ge 0$.

Разложим на множители:
$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
$x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. Выражение $x^2+2x+4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 4 - 16 = -12 < 0$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x-4)(x-2)(x+2)}{2(x-2)(x^2+2x+4)} \ge 0$.
Область допустимых значений: $x^3-8 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$.
При $x \ne 2$ можно сократить дробь на $(x-2)$: $\frac{(x-2)(x-4)(x+2)}{2(x^2+2x+4)} \ge 0$.
Так как $2(x^2+2x+4) > 0$ для всех $x$, то неравенство равносильно $(x-2)(x-4)(x+2) \ge 0$ при условии $x \ne 2$.
Критические точки: -2, 2, 4.
Определим знаки на интервалах для $f(x)=(x-2)(x-4)(x+2)$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс". Точки -2 и 4 включаем, точку 2 выкалываем.

Ответ: $x \in [-2, 2) \cup [4, \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{(2x^2 + 4x)(3x - x^2)}{(2x + 5)^2} \le 0$.

Разложим на множители:
$2x^2 + 4x = 2x(x+2)$.
$3x - x^2 = x(3-x) = -x(x-3)$.
Неравенство: $\frac{2x(x+2)(-x(x-3))}{(2x+5)^2} \le 0 \Rightarrow \frac{-2x^2(x+2)(x-3)}{(2x+5)^2} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{2x^2(x+2)(x-3)}{(2x+5)^2} \ge 0$.
Критические точки:
Нули числителя: $x=0$ (кратность 2), $x=-2$ (кратность 1), $x=3$ (кратность 1). Точки -2, 0, 3 включаются в решение.
Нули знаменателя: $x=-2.5$ (кратность 2). Точка -2.5 исключается.
Расставим точки -2.5, -2, 0, 3 на прямой. При переходе через точки с четной кратностью (0 и -2.5) знак не меняется.

Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю. Точка $x=0$ является решением.

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (-2.5, -2] \cup \{0\} \cup [3, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x+4)^4 (x+3)^3}{2(x^2 + x - 2)} \ge 0$.

Разложим знаменатель: $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$.
Неравенство: $\frac{(x+4)^4 (x+3)^3}{2(x+2)(x-1)} \ge 0$.
Критические точки:
Нули числителя: $x=-4$ (кратность 4), $x=-3$ (кратность 3). Точки -4, -3 включаются.
Нули знаменателя: $x=-2$ (кратность 1), $x=1$ (кратность 1). Точки -2, 1 исключаются.
Расставим точки -4, -3, -2, 1 на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=-4$ (четная кратность).

Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю. Точка $x=-4$ является решением.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [-3, -2) \cup (1, \infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{3x+7}{5-x^2} \cdot (x-3)^2 > 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(3x+7)(x-3)^2}{-(x^2-5)} > 0$.
Умножим на -1: $\frac{(3x+7)(x-3)^2}{x^2-5} < 0 \Rightarrow \frac{(3x+7)(x-3)^2}{(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})} < 0$.
Критические точки, все выколотые: $x=-7/3 \approx -2.33$, $x=-\sqrt{5} \approx -2.23$, $x=\sqrt{5} \approx 2.23$, $x=3$.
Кратность корней: $x=3$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки $-7/3, -\sqrt{5}, \sqrt{5}, 3$ на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=3$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-\infty, -7/3) \cup (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.

6) Решим неравенство $\frac{2x-7}{9-x^2} \cdot (x-4)^2 < 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(2x-7)(x-4)^2}{-(x^2-9)} < 0$.
Умножим на -1: $\frac{(2x-7)(x-4)^2}{x^2-9} > 0 \Rightarrow \frac{(2x-7)(x-4)^2}{(x-3)(x+3)} > 0$.
Критические точки, все выколотые: $x=-3$, $x=3$, $x=3.5$, $x=4$.
Кратность корней: $x=4$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=4$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-3, 3) \cup (3.5, 4) \cup (4, \infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{2x-9}{7-x^2} \cdot (4x-3)^2 \le 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(2x-9)(4x-3)^2}{-(x^2-7)} \le 0$.
Умножим на -1: $\frac{(2x-9)(4x-3)^2}{x^2-7} \ge 0 \Rightarrow \frac{(2x-9)(4x-3)^2}{(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})} \ge 0$.
Критические точки: $x=-\sqrt{7}$ (выколотая), $x=3/4=0.75$ (включенная), $x=\sqrt{7}$ (выколотая), $x=9/2=4.5$ (включенная).
Кратность корней: $x=3/4$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=3/4$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю. Точка $x=0.75$ объединяет два соседних интервала.

Ответ: $x \in (-\sqrt{7}, \sqrt{7}) \cup [4.5, \infty)$.

8) Решим неравенство $\frac{5-2x}{4-x^2} \cdot (x-3)^2 \ge 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{-(2x-5)(x-3)^2}{-(x^2-4)} \ge 0 \Rightarrow \frac{(2x-5)(x-3)^2}{(x-2)(x+2)} \ge 0$.
Критические точки: $x=-2$ (выколотая), $x=2$ (выколотая), $x=2.5$ (включенная), $x=3$ (включенная).
Кратность корней: $x=3$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=3$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю. Точка $x=3$ объединяет два соседних интервала.

Ответ: $x \in (-2, 2) \cup [2.5, \infty)$.

9) Решим неравенство $\frac{3x+7}{4-x^2} \cdot (x+6) \cdot (x-3)^2 > 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(3x+7)(x+6)(x-3)^2}{-(x^2-4)} > 0$.
Умножим на -1: $\frac{(3x+7)(x+6)(x-3)^2}{x^2-4} < 0 \Rightarrow \frac{(3x+7)(x+6)(x-3)^2}{(x-2)(x+2)} < 0$.
Критические точки, все выколотые: $x=-6$, $x=-7/3 \approx -2.33$, $x=-2$, $x=2$, $x=3$.
Кратность корней: $x=3$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=3$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-6, -7/3) \cup (-2, 2)$.

10) Решим неравенство $\frac{5x-8}{16-x^2} \cdot (x+2) \cdot (x-5)^2 < 0$.

Запишем в виде дроби: $\frac{(5x-8)(x+2)(x-5)^2}{-(x^2-16)} < 0$.
Умножим на -1: $\frac{(5x-8)(x+2)(x-5)^2}{x^2-16} > 0 \Rightarrow \frac{(5x-8)(x+2)(x-5)^2}{(x-4)(x+4)} > 0$.
Критические точки, все выколотые: $x=-4$, $x=-2$, $x=8/5=1.6$, $x=4$, $x=5$.
Кратность корней: $x=5$ (кратность 2), остальные - 1.
Расставим точки на прямой. Знак не меняется при переходе через $x=5$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2, 1.6) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$.