Номер 19.14, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.14. Равносильны ли неравенства:

1) $(2x + 5)(x - 3) > 0$ и $\frac{2x + 5}{x - 3} > 0$;

2) $(3x - 5)(2x + 3) \ge 0$ и $\frac{2x + 3}{3x - 5} \ge 0$;

3) $2x + \frac{x + 5}{x - 1} > \frac{x + 5}{x - 1} - 6$ и $x > -3$;

4) $3x - \frac{2x + 5}{x - 3} \le 12 - \frac{2x + 5}{x - 3}$ и $x \le 4$;

5) $\frac{1}{2x} < 1$ и $x > 0,5$;

6) $\frac{2}{x^2} > 1$ и $x^2 < 2$;

7) $\frac{1}{|x|} < 1$ и $|x| > 1$;

8) $\frac{5}{|x|} > 1$ и $|x| < 5?$;

1)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждого неравенства.

Первое неравенство: $(2x + 5)(x - 3) > 0$.

Используем метод интервалов. Корни соответствующего уравнения $(2x + 5)(x - 3) = 0$ равны $x_1 = -2.5$ и $x_2 = 3$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Так как неравенство строгое, сами точки в решение не входят.

Множество решений: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (3; +\infty)$.

Второе неравенство: $\frac{2x + 5}{x - 3} > 0$.

Метод интервалов для дробей работает аналогично. Нуль числителя $x = -2.5$, нуль знаменателя $x = 3$. Точка $x=3$ является точкой разрыва и не входит в область определения.Знак дроби $\frac{A}{B}$ совпадает со знаком произведения $A \cdot B$. Следовательно, знаки на интервалах будут такими же, как и в первом случае.

Множество решений: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (3; +\infty)$.

Так как множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.

Ответ: неравенства равносильны.

2)

Первое неравенство: $(3x - 5)(2x + 3) \ge 0$.

Корни уравнения $(3x - 5)(2x + 3) = 0$ равны $x_1 = 5/3$ и $x_2 = -3/2 = -1.5$. Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в решение.

Множество решений: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [5/3; +\infty)$.

Второе неравенство: $\frac{2x + 3}{3x - 5} \ge 0$.

Нуль числителя $x = -1.5$, нуль знаменателя $x = 5/3$.Точка $x = -1.5$ является решением, так как неравенство нестрогое и числитель может быть равен нулю.Точка $x = 5/3$ не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Множество решений: $x \in (-\infty; -1.5] \cup (5/3; +\infty)$.

Множества решений не совпадают: точка $x=5/3$ принадлежит решению первого неравенства, но не принадлежит решению второго. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

3)

Первое неравенство: $2x + \frac{x+5}{x-1} > \frac{x+5}{x-1} - 6$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.Перенесем слагаемое $\frac{x+5}{x-1}$ из правой части в левую:

$2x + \frac{x+5}{x-1} - \frac{x+5}{x-1} > -6$

$2x > -6$

$x > -3$

Учитывая ОДЗ, получаем множество решений: $x \in (-3; 1) \cup (1; +\infty)$.

Второе неравенство: $x > -3$.

Множество решений: $x \in (-3; +\infty)$.

Множества решений не совпадают: число $1$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

4)

Первое неравенство: $3x - \frac{2x+5}{x-3} \le 12 - \frac{2x+5}{x-3}$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.Прибавим к обеим частям неравенства выражение $\frac{2x+5}{x-3}$:

$3x \le 12$

$x \le 4$

С учетом ОДЗ, получаем множество решений: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; 4]$.

Второе неравенство: $x \le 4$.

Множество решений: $x \in (-\infty; 4]$.

Множества решений не совпадают: число $3$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

5)

Первое неравенство: $\frac{1}{2x} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:$\frac{1}{2x} - 1 < 0$

$\frac{1 - 2x}{2x} < 0$

Решаем методом интервалов. Нуль числителя $x=0.5$, нуль знаменателя $x=0$.Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 0.5)$, $(0.5; +\infty)$.- При $x>0.5$ (например, $x=1$): $\frac{1-2}{2} < 0$. Верно.- При $0

Множество решений: $x \in (-\infty; 0) \cup (0.5; +\infty)$.

Второе неравенство: $x > 0.5$.

Множество решений: $x \in (0.5; +\infty)$.

Множества решений не совпадают (например, $x=-1$ является решением первого неравенства, но не второго). Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

6)

Первое неравенство: $\frac{2}{x^2} > 1$.

ОДЗ: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$.Так как $x^2 > 0$ при всех $x$ из ОДЗ, можно умножить обе части неравенства на $x^2$, не меняя знака неравенства:$2 > x^2$$x^2 < 2$

Решением неравенства $x^2 < 2$ является интервал $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.Учитывая ОДЗ ($x \neq 0$), получаем множество решений: $x \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (0; \sqrt{2})$.

Второе неравенство: $x^2 < 2$.

Множество решений: $x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.

Множества решений не совпадают: число $0$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

7)

Первое неравенство: $\frac{1}{|x|} < 1$.

ОДЗ: $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$.Поскольку $|x| > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, мы можем умножить обе части неравенства на $|x|$ без изменения знака:$1 < |x|$$|x| > 1$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.Это множество не содержит $x=0$, поэтому условие ОДЗ выполнено.

Второе неравенство: $|x| > 1$.

Множество решений: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: неравенства равносильны.

8)

Первое неравенство: $\frac{5}{|x|} > 1$.

ОДЗ: $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$.Так как $|x| > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, умножим обе части на $|x|$:$5 > |x|$$|x| < 5$

Решением этого неравенства является интервал $(-5; 5)$.С учетом ОДЗ ($x \neq 0$), получаем множество решений: $x \in (-5; 0) \cup (0; 5)$.

Второе неравенство: $|x| < 5$.

Множество решений: $x \in (-5; 5)$.

Множества решений не совпадают: число $0$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.