Номер 19.14, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.14. Равносильны ли неравенства:

1) $(2x + 5)(x - 3) > 0$ и $\frac{2x + 5}{x - 3} > 0$;

2) $(3x - 5)(2x + 3) \ge 0$ и $\frac{2x + 3}{3x - 5} \ge 0$;

3) $2x + \frac{x + 5}{x - 1} > \frac{x + 5}{x - 1} - 6$ и $x > -3$;

4) $3x - \frac{2x + 5}{x - 3} \le 12 - \frac{2x + 5}{x - 3}$ и $x \le 4$;

5) $\frac{1}{2x} < 1$ и $x > 0,5$;

6) $\frac{2}{x^2} > 1$ и $x^2 < 2$;

7) $\frac{1}{|x|} < 1$ и $|x| > 1$;

8) $\frac{5}{|x|} > 1$ и $|x| < 5?$;

Ниже приведен подробный разбор каждой пары неравенств с учетом области допустимых значений (ОДЗ).

1) $(2x + 5)(x - 3) > 0$ и $\frac{2x + 5}{x - 3} > 0$

• В обоих случаях точки $x = -2,5$ и $x = 3$ исключаются (в первом из-за строгого знака, во втором — из-за знаменателя).
• Знаки произведения и частного двух выражений всегда совпадают.
• Ответ: Да, равносильны.

2) $(3x - 5)(2x + 3) \ge 0$ и $\frac{2x + 3}{3x - 5} \ge 0$

• В первом неравенстве решением являются промежутки, включающие точки $-1,5$ и $5/3$.
• Во втором неравенстве $x \neq 5/3$, так как это корень знаменателя. Точка $5/3$ будет выколотой.
• Множества решений различаются одной точкой.
• Ответ: Нет, не равносильны.

3) $2x + \frac{x + 5}{x - 1} > \frac{x + 5}{x - 1} - 6$ и $x > -3$

• При сокращении одинаковых дробей в первом неравенстве мы получаем $2x > -6 \Rightarrow x > -3$.
• Однако исходное неравенство имеет ограничение $x \neq 1$ (знаменатель).
• Во втором неравенстве $x = 1$ входит в решение.
• Ответ: Нет, не равносильны.

4) $3x - \frac{2x + 5}{x - 3} \le 12 - \frac{2x + 5}{x - 3}$ и $x \le 4$

• После сокращения дробей получаем $3x \le 12 \Rightarrow x \le 4$.
• Но первое неравенство не определено при $x = 3$. Значит, из решения $x \le 4$ нужно исключить $3$.
• Ответ: Нет, не равносильны.

5) $\frac{1}{2x} < 1$ и $x > 0,5$

• Решим первое: $\frac{1 - 2x}{2x} < 0$. Корни: $0$ и $0,5$. Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (0,5; +\infty)$.
• Второе неравенство дает только $(0,5; +\infty)$.
• Ответ: Нет, не равносильны.

6) $\frac{2}{x^2} > 1$ и $x^2 < 2$

• Первое неравенство: $x^2 < 2$, но при этом $x \neq 0$ (знаменатель).
• Второе неравенство включает $x = 0$.
• Ответ: Нет, не равносильны.

7) $\frac{1}{|x|} < 1$ и $|x| > 1$

• Так как $|x|$ всегда положителен (кроме $x=0$), мы можем умножить на $|x|$ без смены знака: $1 < |x|$.
• Условие $|x| > 1$ автоматически исключает $x = 0$.
• Ответ: Да, равносильны.

8) $\frac{5}{|x|} > 1$ и $|x| < 5$

• Первое неравенство сводится к $|x| < 5$, но с обязательным условием $x \neq 0$.
• Второе неравенство включает $x = 0$.
• Ответ: Нет, не равносильны.