Номер 19.8, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.8. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $\frac{x - 5}{1 - x} > 2;$

2) $\frac{x - 6}{x - 1} > 3;$

3) $\frac{2x - 7}{x + 1} > 4;$

4) $\frac{5 - x}{x + 1} > 2.$

1) Решим неравенство $\frac{x-5}{1-x} > 2$.
Для решения перенесем все члены в одну часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x-5}{1-x} - 2 > 0$
$\frac{x-5 - 2(1-x)}{1-x} > 0$
$\frac{x-5 - 2 + 2x}{1-x} > 0$
$\frac{3x - 7}{1-x} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
$3x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
Эти точки делят числовую прямую на интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; \frac{7}{3})$ и $(\frac{7}{3}; \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале. Например, возьмем точку $x=2$ из интервала $(1; \frac{7}{3})$:
$\frac{3(2) - 7}{1-2} = \frac{6 - 7}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0$
Значит, на интервале $(1; \frac{7}{3})$ неравенство выполняется. На соседних интервалах знак будет противоположным.
Решением неравенства является интервал $(1; \frac{7}{3})$.
Так как $\frac{7}{3} \approx 2.33$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству, является 2.
Ответ: 2

2) Решим неравенство $\frac{x-6}{x-1} > 3$.
$\frac{x-6}{x-1} - 3 > 0$
$\frac{x-6 - 3(x-1)}{x-1} > 0$
$\frac{x-6 - 3x + 3}{x-1} > 0$
$\frac{-2x - 3}{x-1} > 0$
Чтобы избавиться от знака "минус" в числителе, умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{2x + 3}{x-1} < 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} = -1.5$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
Методом интервалов находим, что выражение $\frac{2x+3}{x-1}$ отрицательно на интервале $(-\frac{3}{2}; 1)$.
Целые числа, которые принадлежат этому интервалу: -1, 0. Наибольшим из них является 0.
Ответ: 0

3) Решим неравенство $\frac{2x-7}{x+1} > 4$.
$\frac{2x-7}{x+1} - 4 > 0$
$\frac{2x-7 - 4(x+1)}{x+1} > 0$
$\frac{2x-7 - 4x - 4}{x+1} > 0$
$\frac{-2x - 11}{x+1} > 0$
$\frac{2x + 11}{x+1} < 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x + 11 = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{2} = -5.5$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Неравенство выполняется, когда $x$ находится в интервале $(-\frac{11}{2}; -1)$.
Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -5, -4, -3, -2. Наибольшее целое решение — это -2.
Ответ: -2

4) Решим неравенство $\frac{5-x}{x+1} > 2$.
$\frac{5-x}{x+1} - 2 > 0$
$\frac{5-x - 2(x+1)}{x+1} > 0$
$\frac{5-x - 2x - 2}{x+1} > 0$
$\frac{3 - 3x}{x+1} > 0$
$\frac{3(1-x)}{x+1} > 0$
Найдем нули числителя и знаменателя:
$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Методом интервалов находим, что выражение положительно на интервале $(-1; 1)$.
Единственное целое число, которое принадлежит этому интервалу, — это 0.
Ответ: 0