Номер 19.3, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{-3(5+3x)(2x-9)};$

2) $\sqrt{-(7-3x)(2x+1)};$

3) $\sqrt{(5-3y)(3y-5)};$

4) $\sqrt{-7(9-5y)(7y-14)}$ ?

1) Выражение $\sqrt{-3(5+3x)(2x-9)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

$-3(5+3x)(2x-9) \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(5+3x)(2x-9) \le 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $(5+3x)(2x-9) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$5+3x=0 \implies 3x = -5 \implies x_1 = -5/3$

$2x-9=0 \implies 2x = 9 \implies x_2 = 9/2$

Отметим корни на числовой оси и определим знаки выражения $(5+3x)(2x-9)$ в каждом из полученных интервалов. График функции $y=(5+3x)(2x-9)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 \cdot 2 = 6 > 0$). Следовательно, выражение принимает неположительные значения ($ \le 0 $) между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-5/3, 9/2]$.

Ответ: $x \in [-5/3, 9/2]$.

2) Выражение $\sqrt{-(7-3x)(2x+1)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$-(7-3x)(2x+1) \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(7-3x)(2x+1) \le 0$

Найдем корни уравнения $(7-3x)(2x+1) = 0$:

$7-3x=0 \implies 3x = 7 \implies x_1 = 7/3$

$2x+1=0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -1/2$

График функции $y=(7-3x)(2x+1)$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 \cdot 2 = -6 < 0$). Следовательно, выражение принимает неположительные значения ($ \le 0 $) вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -1/2] \cup [7/3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/2] \cup [7/3, +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt{(5-3y)(3y-5)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$(5-3y)(3y-5) \ge 0$

Заметим, что множители являются противоположными выражениями, так как $3y-5 = -(5-3y)$. Подставим это в неравенство:

$(5-3y)(-(5-3y)) \ge 0$

$-(5-3y)^2 \ge 0$

Выражение $(5-3y)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю), так как является квадратом действительного числа. Соответственно, выражение $-(5-3y)^2$ всегда неположительно (меньше или равно нулю).

Неравенство $-(5-3y)^2 \ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда обе части равны нулю.

$-(5-3y)^2 = 0$

$5-3y=0$

$3y=5$

$y = 5/3$

Ответ: $y = 5/3$.

4) Выражение $\sqrt{-7(9-5y)(7y-14)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$-7(9-5y)(7y-14) \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-7$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(9-5y)(7y-14) \le 0$

Найдем корни уравнения $(9-5y)(7y-14) = 0$:

$9-5y=0 \implies 5y = 9 \implies y_1 = 9/5$

$7y-14=0 \implies 7y = 14 \implies y_2 = 2$

График функции $y=(9-5y)(7y-14)$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ отрицателен ($-5 \cdot 7 = -35 < 0$). Следовательно, выражение принимает неположительные значения ($ \le 0 $) вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 9/5] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $y \in (-\infty, 9/5] \cup [2, +\infty)$.