Номер 18.23, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.23. Среди выражений найдите алгебраические дроби:

1) $\frac{2}{x^2 - 1} + 5;$

2) $\frac{3x - 4}{3} + \frac{2}{5};$

3) $\frac{5 - x}{x^2};$

4) $\frac{6x^2 + x - 1}{x + 2} + 2x;$

5) $\frac{2}{x + 1} - 0,4;$

6) $\frac{x - 4}{2} + \frac{2x}{5};$

7) $\frac{5 - x}{x + 2x^2};$

8) $\frac{\sqrt{x - 1}}{2} + 2x.$

Алгебраическая дробь — это рациональное выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причем $Q$ обязательно содержит переменную. Выражения, в которых нет деления на переменную, называются целыми выражениями (многочленами). Выражения, содержащие переменную под знаком корня, не являются рациональными.

Проанализируем каждое выражение:

1) $\frac{2}{x^2-1}+5$

Данное выражение содержит дробь $\frac{2}{x^2-1}$. Знаменатель этой дроби, $x^2-1$, является многочленом и содержит переменную $x$. Следовательно, это выражение содержит алгебраическую дробь (является дробно-рациональным выражением).

Ответ: является алгебраической дробью.

2) $\frac{3x-4}{3}+\frac{2}{5}$

Знаменатели дробей (3 и 5) являются числами и не содержат переменных. Это выражение можно преобразовать к многочлену: $\frac{5(3x-4)+3 \cdot 2}{15} = \frac{15x-20+6}{15} = \frac{15x-14}{15} = x - \frac{14}{15}$. Это целое выражение.

Ответ: не является алгебраической дробью.

3) $\frac{5-x}{x^2}$

В этой дроби числитель $5-x$ и знаменатель $x^2$ являются многочленами. Знаменатель $x^2$ содержит переменную. По определению, это алгебраическая дробь.

Ответ: является алгебраической дробью.

4) $\frac{6x^2+x-1}{x+2}+2x$

Выражение содержит дробь $\frac{6x^2+x-1}{x+2}$, в которой знаменатель $x+2$ является многочленом, содержащим переменную $x$. Следовательно, это выражение является дробно-рациональным.

Ответ: является алгебраической дробью.

5) $\frac{2}{x+1}-0,4$

Выражение содержит дробь $\frac{2}{x+1}$. Знаменатель $x+1$ — это многочлен, который содержит переменную $x$. Следовательно, это выражение является дробно-рациональным.

Ответ: является алгебраической дробью.

6) $\frac{x-4}{2}+\frac{2x}{5}$

Знаменатели дробей (2 и 5) являются числами, не содержащими переменных. Выражение можно упростить до многочлена: $\frac{5(x-4)+2(2x)}{10} = \frac{5x-20+4x}{10} = \frac{9x-20}{10}$. Это целое выражение.

Ответ: не является алгебраической дробью.

7) $\frac{5-x}{x+2x^2}$

В этой дроби числитель $5-x$ и знаменатель $x+2x^2$ являются многочленами. Знаменатель содержит переменную $x$. Таким образом, это алгебраическая дробь.

Ответ: является алгебраической дробью.

8) $\frac{\sqrt{x-1}}{2}+2x$

Это выражение содержит $\sqrt{x-1}$. Поскольку переменная $x$ находится под знаком квадратного корня, числитель дроби не является многочленом. Такое выражение называется иррациональным, а не алгебраической дробью.

Ответ: не является алгебраической дробью.

Итог:

Алгебраическими дробями (или выражениями, их содержащими) являются выражения под номерами: 1, 3, 4, 5, 7.