Страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.17. Используя четырехзначные математические таблицы Брадиса, найдите приближенные значения корней квадратного уравнения:

1) $3x^2 - 7x - 31 = 0;$

2) $5x^2 + 17x - 11 = 0;$

3) $-6x^2 + 18x + 41 = 0.$

Ответ округлите до сотых.

1) $3x^2 - 7x - 31 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=-7$, $c=-31$.

Сначала найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-31) = 49 + 372 = 421$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Для вычисления корней нам нужно найти приближенное значение $\sqrt{421}$. Воспользуемся таблицами Брадиса. Для этого представим число 421 в виде $4.21 \cdot 100$. Тогда $\sqrt{421} = \sqrt{4.21 \cdot 100} = 10\sqrt{4.21}$.

По таблице квадратных корней Брадиса (Таблица II) находим значение для 4.21. Для этого находим строку "4.2" и столбец "1". На их пересечении стоит число 2.052.

Таким образом, $\sqrt{421} \approx 10 \cdot 2.052 = 20.52$.

Теперь можем вычислить приближенные значения корней:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{421}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + \sqrt{421}}{6} \approx \frac{7 + 20.52}{6} = \frac{27.52}{6} \approx 4.5866...$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{421}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - \sqrt{421}}{6} \approx \frac{7 - 20.52}{6} = \frac{-13.52}{6} \approx -2.2533...$

Округлим полученные значения до сотых:

$x_1 \approx 4.59$

$x_2 \approx -2.25$

Ответ: $x_1 \approx 4.59$, $x_2 \approx -2.25$.

2) $5x^2 + 17x - 11 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=5$, $b=17$, $c=-11$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-11) = 289 + 220 = 509$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем приближенное значение $\sqrt{509}$. Используя таблицы Брадиса, представим число 509 как $5.09 \cdot 100$. Тогда $\sqrt{509} = \sqrt{5.09 \cdot 100} = 10\sqrt{5.09}$.

По таблице квадратных корней Брадиса находим значение для 5.09. В строке "5.0" и столбце "9" находим значение 2.256.

Таким образом, $\sqrt{509} \approx 10 \cdot 2.256 = 22.56$.

Теперь вычислим приближенные значения корней по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-17 + \sqrt{509}}{2 \cdot 5} = \frac{-17 + \sqrt{509}}{10} \approx \frac{-17 + 22.56}{10} = \frac{5.56}{10} = 0.556$.

$x_2 = \frac{-17 - \sqrt{509}}{2 \cdot 5} = \frac{-17 - \sqrt{509}}{10} \approx \frac{-17 - 22.56}{10} = \frac{-39.56}{10} = -3.956$.

Округлим полученные значения до сотых:

$x_1 \approx 0.56$

$x_2 \approx -3.96$

Ответ: $x_1 \approx 0.56$, $x_2 \approx -3.96$.

3) $-6x^2 + 18x + 41 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=-6$, $b=18$, $c=41$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 18^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 41 = 324 + 24 \cdot 41 = 324 + 984 = 1308$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем приближенное значение $\sqrt{1308}$. Используя таблицы Брадиса, представим число 1308 как $13.08 \cdot 100$. Тогда $\sqrt{1308} = \sqrt{13.08 \cdot 100} = 10\sqrt{13.08}$.

По таблице квадратных корней Брадиса находим значение $\sqrt{13.08}$. Для этого находим значение для 13.0 (в строке "13" и столбце "0"), которое равно 3.606, и добавляем поправку для последней цифры "8" из соответствующего столбца поправок. Поправка для 8 в этой строке равна 11 (что означает 0.011). Таким образом, $\sqrt{13.08} \approx 3.606 + 0.011 = 3.617$.

Следовательно, $\sqrt{1308} \approx 10 \cdot 3.617 = 36.17$.

Теперь вычислим приближенные значения корней по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-18 + \sqrt{1308}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-18 + \sqrt{1308}}{-12} \approx \frac{-18 + 36.17}{-12} = \frac{18.17}{-12} \approx -1.5141...$

$x_2 = \frac{-18 - \sqrt{1308}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-18 - \sqrt{1308}}{-12} \approx \frac{-18 - 36.17}{-12} = \frac{-54.17}{-12} \approx 4.5141...$

Округлим полученные значения до сотых:

$x_1 \approx -1.51$

$x_2 \approx 4.51$

Ответ: $x_1 \approx -1.51$, $x_2 \approx 4.51$.

18.18. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) $x^2 - 11x + 24$;

2) $-x^2 - 8x + 20$;

3) $3x^2 - 15x - 42$;

4) $-5x^2 - 21x + 62$.

1) Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Рассмотрим трехчлен $x^2 - 11x + 24$. Здесь $a=1, b=-11, c=24$.
Найдем корни, решив уравнение $x^2 - 11x + 24 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = 8$.
Подставляем найденные корни в формулу разложения:
$x^2 - 11x + 24 = 1 \cdot (x - 3)(x - 8) = (x - 3)(x - 8)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 8)$.

2) Рассмотрим трехчлен $-x^2 - 8x + 20$. Здесь $a=-1, b=-8, c=20$.
Найдем корни уравнения $-x^2 - 8x + 20 = 0$. Для удобства умножим обе части на $-1$:
$x^2 + 8x - 20 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 - 12}{2} = -10$.
$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.
Подставляем корни и коэффициент $a=-1$ в формулу разложения:
$-x^2 - 8x + 20 = -1 \cdot (x - (-10))(x - 2) = -(x + 10)(x - 2)$.
Ответ: $-(x + 10)(x - 2)$.

3) Рассмотрим трехчлен $3x^2 - 15x - 42$.
Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(x^2 - 5x - 14)$.
Теперь разложим на множители трехчлен $x^2 - 5x - 14$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.
Разложение трехчлена в скобках: $(x - (-2))(x - 7) = (x + 2)(x - 7)$.
Итоговое разложение исходного трехчлена:
$3x^2 - 15x - 42 = 3(x + 2)(x - 7)$.
Ответ: $3(x + 2)(x - 7)$.

4) Рассмотрим трехчлен $-5x^2 - 21x + 62$. Здесь $a=-5, b=-21, c=62$.
Найдем корни уравнения $-5x^2 - 21x + 62 = 0$. Умножим на $-1$:
$5x^2 + 21x - 62 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 21^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-62) = 441 + 1240 = 1681$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-21 - 41}{2 \cdot 5} = \frac{-62}{10} = -\frac{31}{5}$.
$x_2 = \frac{-21 + 41}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.
Подставляем корни и коэффициент $a=-5$ в формулу разложения:
$-5x^2 - 21x + 62 = -5(x - (-\frac{31}{5}))(x - 2) = -5(x + \frac{31}{5})(x - 2)$.
Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель $-5$ в первую скобку:
$-5(x + \frac{31}{5}) = -5x - 5 \cdot \frac{31}{5} = -5x - 31$.
Получаем разложение: $(-5x - 31)(x - 2)$.
Вынеся знак минус из первой скобки, получим: $-(5x + 31)(x - 2)$.
Ответ: $-(5x + 31)(x - 2)$.

18.19. Сократите дробь:

1) $\frac{2x^2 - 8}{x^2 + 6x + 8}$;

2) $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 10x + 16}$;

3) $\frac{-x^2 + x + 2}{3x^2 + 5x + 2}$;

4) $\frac{-3x^2 + 4x + 7}{3x^2 + 8x + 5}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{2x^2 - 8}{x^2 + 6x + 8}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
Разложим числитель: $2x^2 - 8$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x^2 - 4)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем: $2(x-2)(x+2)$.
Разложим знаменатель: $x^2 + 6x + 8$. Это квадратный трехчлен. Для его разложения на множители найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -6$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корнями являются числа -2 и -4. Тогда разложение трехчлена имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$, то есть $(x - (-2))(x - (-4)) = (x+2)(x+4)$.
Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{2(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+4)}$
Сократим общий множитель $(x+2)$ (при условии, что $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$):
$\frac{2(x-2)}{x+4}$
Ответ: $\frac{2(x-2)}{x+4}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 10x + 16}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Разложим числитель $2x^2 - 5x + 2$, решив квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение трехчлена по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$ дает: $2(x-2)(x-\frac{1}{2}) = (x-2)(2x-1)$.
Разложим знаменатель $x^2 - 10x + 16$. Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 16 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10$, $x_1 \cdot x_2 = 16$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.
Разложение знаменателя: $(x-2)(x-8)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x-2)(2x-1)}{(x-2)(x-8)}$
Сократим общий множитель $(x-2)$ (при условии, что $x \neq 2$):
$\frac{2x-1}{x-8}$
Ответ: $\frac{2x-1}{x-8}$

3) Сократим дробь $\frac{-x^2 + x + 2}{3x^2 + 5x + 2}$.
Разложим на множители числитель $-x^2 + x + 2$. Для этого найдем корни уравнения $-x^2 + x + 2 = 0$, или, что то же самое, $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Разложение числителя: $a(x-x_1)(x-x_2) = -1(x-2)(x-(-1)) = -(x-2)(x+1)$.
Разложим знаменатель $3x^2 + 5x + 2$, решив уравнение $3x^2 + 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{-5 - 1}{6} = -1$.
Разложение знаменателя: $a(x-x_1)(x-x_2) = 3(x-(-\frac{2}{3}))(x-(-1)) = 3(x+\frac{2}{3})(x+1) = (3x+2)(x+1)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{-(x-2)(x+1)}{(3x+2)(x+1)}$
Сократим общий множитель $(x+1)$ (при условии, что $x \neq -1$):
$\frac{-(x-2)}{3x+2} = \frac{2-x}{3x+2}$.
Ответ: $\frac{2-x}{3x+2}$

4) Сократим дробь $\frac{-3x^2 + 4x + 7}{3x^2 + 8x + 5}$.
Разложим на множители числитель $-3x^2 + 4x + 7$, решив уравнение $-3x^2 + 4x + 7 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 7 = 16 + 84 = 100$.
Корни: $x_1 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot (-3)} = \frac{6}{-6} = -1$ и $x_2 = \frac{-4 - 10}{-6} = \frac{-14}{-6} = \frac{7}{3}$.
Разложение числителя: $a(x-x_1)(x-x_2) = -3(x-(-1))(x-\frac{7}{3}) = -3(x+1)(x-\frac{7}{3}) = -(x+1)(3x-7)$.
Разложим знаменатель $3x^2 + 8x + 5$, решив уравнение $3x^2 + 8x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.
Корни: $x_1 = \frac{-8 + 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{-8 - 2}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
Разложение знаменателя: $a(x-x_1)(x-x_2) = 3(x-(-1))(x-(-\frac{5}{3})) = 3(x+1)(x+\frac{5}{3}) = (x+1)(3x+5)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{-(x+1)(3x-7)}{(x+1)(3x+5)}$
Сократим общий множитель $(x+1)$ (при условии, что $x \neq -1$):
$\frac{-(3x-7)}{3x+5} = \frac{7-3x}{3x+5}$.
Ответ: $\frac{7-3x}{3x+5}$

18.20. Упростите выражение:

1) $\frac{x^2 + 2ax + 3x - 6a}{x^2 + 2xa + 3x + 6a};$

2) $\frac{9x^2 - 25a^2}{9x^2 + 30xa + 25a^2}.$

Найдите его значение при $x=2\frac{3}{7}$ и $a=-3,3$. Ответ округлите до десятых.

1) Упростим выражение $\frac{x^2+2ax+3x-6a}{x^2+2xa+3x+6a}$.

Для упрощения разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

Знаменатель: $x^2+2ax+3x+6a = (x^2+2ax)+(3x+6a) = x(x+2a)+3(x+2a) = (x+2a)(x+3)$.

Числитель: $x^2+2ax+3x-6a = (x^2+2ax)+(3x-6a) = x(x+2a)+3(x-2a)$.

В данном случае общих множителей для сокращения нет, но сгруппированные выражения удобнее для подстановки значений.

Выражение принимает вид: $\frac{x(x+2a)+3(x-2a)}{(x+2a)(x+3)}$.

Найдем значение выражения при $x=2\frac{3}{7}$ и $a=-3,3$.

Переведем значения в неправильные дроби: $x = \frac{17}{7}$, $a = -3,3 = -\frac{33}{10}$.

Вычислим значения вспомогательных выражений:

$x+2a = \frac{17}{7} + 2 \cdot (-\frac{33}{10}) = \frac{17}{7} - \frac{33}{5} = \frac{17 \cdot 5 - 33 \cdot 7}{35} = \frac{85 - 231}{35} = -\frac{146}{35}$.

$x-2a = \frac{17}{7} - 2 \cdot (-\frac{33}{10}) = \frac{17}{7} + \frac{33}{5} = \frac{17 \cdot 5 + 33 \cdot 7}{35} = \frac{85 + 231}{35} = \frac{316}{35}$.

$x+3 = \frac{17}{7} + 3 = \frac{17+21}{7} = \frac{38}{7}$.

Подставим эти значения в выражение.

Числитель: $x(x+2a)+3(x-2a) = \frac{17}{7} \cdot (-\frac{146}{35}) + 3 \cdot (\frac{316}{35}) = -\frac{2482}{245} + \frac{948}{35} = \frac{-2482 + 948 \cdot 7}{245} = \frac{-2482+6636}{245} = \frac{4154}{245}$.

Знаменатель: $(x+2a)(x+3) = (-\frac{146}{35}) \cdot \frac{38}{7} = -\frac{146 \cdot 38}{35 \cdot 7} = -\frac{5548}{245}$.

Значение дроби: $\frac{\frac{4154}{245}}{-\frac{5548}{245}} = -\frac{4154}{5548} = -\frac{2077}{2774}$.

Выполним деление и округлим до десятых: $-\frac{2077}{2774} \approx -0,7487... \approx -0,7$.

Ответ: -0,7

2) Упростим выражение $\frac{9x^2-25a^2}{9x^2+30xa+25a^2}$.

Числитель представляет собой разность квадратов: $9x^2-25a^2 = (3x)^2 - (5a)^2 = (3x-5a)(3x+5a)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы: $9x^2+30xa+25a^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (5a) + (5a)^2 = (3x+5a)^2$.

Сократим дробь: $\frac{(3x-5a)(3x+5a)}{(3x+5a)^2} = \frac{3x-5a}{3x+5a}$.

Найдем значение выражения при $x=2\frac{3}{7} = \frac{17}{7}$ и $a=-3,3 = -\frac{33}{10}$.

Вычислим значения числителя и знаменателя упрощенной дроби.

$3x-5a = 3 \cdot \frac{17}{7} - 5 \cdot (-\frac{33}{10}) = \frac{51}{7} + \frac{165}{10} = \frac{51}{7} + \frac{33}{2} = \frac{51 \cdot 2 + 33 \cdot 7}{14} = \frac{102+231}{14} = \frac{333}{14}$.

$3x+5a = 3 \cdot \frac{17}{7} + 5 \cdot (-\frac{33}{10}) = \frac{51}{7} - \frac{33}{2} = \frac{51 \cdot 2 - 33 \cdot 7}{14} = \frac{102-231}{14} = -\frac{129}{14}$.

Значение дроби: $\frac{\frac{333}{14}}{-\frac{129}{14}} = -\frac{333}{129}$.

Сократим дробь на 3: $-\frac{333 \div 3}{129 \div 3} = -\frac{111}{43}$.

Выполним деление и округлим до десятых: $-\frac{111}{43} \approx -2,581... \approx -2,6$.

Ответ: -2,6

18.21. На координатной оси отметьте числа, при которых выражение равно 0:

1) $(x - 2)(3 - x)$;

2) $(x - 1)(3 + x)$;

3) $(x + 2)(1 - x)(2x + 6)$;

4) $(3x + 2)(x - 2)(x - \sqrt{8})$.

1)Чтобы найти числа, при которых выражение $(x - 2)(3 - x)$ равно 0, нужно решить уравнение $(x - 2)(3 - x) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x - 2 = 0$ или $3 - x = 0$. Из первого уравнения получаем $x_1 = 2$. Из второго уравнения получаем $x_2 = 3$. Отметим эти числа на координатной оси:Ответ: 2; 3.

2)Приравняем выражение к нулю: $(x - 1)(3 + x) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда $x - 1 = 0$ или $3 + x = 0$. Решая эти уравнения, получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Отметим эти точки на координатной оси:Ответ: -3; 1.

3)Приравняем выражение к нулю: $(x + 2)(1 - x)(2x + 6) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда $x + 2 = 0$ или $1 - x = 0$ или $2x + 6 = 0$. Решая эти уравнения, получаем $x_1 = -2$, $x_2 = 1$ и $x_3 = -3$. Отметим эти точки на координатной оси:Ответ: -3; -2; 1.

4)Приравняем выражение к нулю: $(3x + 2)(x - 2)(x - \sqrt{8}) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда $3x + 2 = 0$ или $x - 2 = 0$ или $x - \sqrt{8} = 0$. Решая эти уравнения, получаем: $3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_1 = -\frac{2}{3}$. $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$. $x - \sqrt{8} = 0 \implies x_3 = \sqrt{8}$. Отметим точки $-\frac{2}{3}$, $2$ и $\sqrt{8}$ на координатной оси. (Примечание: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$):Ответ: $-\frac{2}{3}$; 2; $\sqrt{8}$.

18.22. Определите, какой знак принимает функция $f(x) = x^2 + 2x - 5$ при $x = -3$; $1$; $2$; $3,5$.

Чтобы определить знак функции $f(x) = x^2 + 2x - 5$ при заданных значениях $x$, нужно вычислить значение функции в каждой из этих точек.

при x = -3:
Подставим значение $x = -3$ в функцию:
$f(-3) = (-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 5 = 9 - 6 - 5 = -2$.
Поскольку результат $f(-3) = -2$ является отрицательным числом, знак функции — минус.
Ответ: знак минус (-).

при x = 1:
Подставим значение $x = 1$ в функцию:
$f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 5 = 1 + 2 - 5 = -2$.
Поскольку результат $f(1) = -2$ является отрицательным числом, знак функции — минус.
Ответ: знак минус (-).

при x = 2:
Подставим значение $x = 2$ в функцию:
$f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 - 5 = 4 + 4 - 5 = 3$.
Поскольку результат $f(2) = 3$ является положительным числом, знак функции — плюс.
Ответ: знак плюс (+).

при x = 3,5:
Подставим значение $x = 3,5$ в функцию:
$f(3,5) = (3,5)^2 + 2 \cdot 3,5 - 5 = 12,25 + 7 - 5 = 14,25$.
Поскольку результат $f(3,5) = 14,25$ является положительным числом, знак функции — плюс.
Ответ: знак плюс (+).

18.23. Среди выражений найдите алгебраические дроби:

1) $\frac{2}{x^2 - 1} + 5;$

2) $\frac{3x - 4}{3} + \frac{2}{5};$

3) $\frac{5 - x}{x^2};$

4) $\frac{6x^2 + x - 1}{x + 2} + 2x;$

5) $\frac{2}{x + 1} - 0,4;$

6) $\frac{x - 4}{2} + \frac{2x}{5};$

7) $\frac{5 - x}{x + 2x^2};$

8) $\frac{\sqrt{x - 1}}{2} + 2x.$

Алгебраическая дробь — это рациональное выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причем $Q$ обязательно содержит переменную. Выражения, в которых нет деления на переменную, называются целыми выражениями (многочленами). Выражения, содержащие переменную под знаком корня, не являются рациональными.

Проанализируем каждое выражение:

1) $\frac{2}{x^2-1}+5$

Данное выражение содержит дробь $\frac{2}{x^2-1}$. Знаменатель этой дроби, $x^2-1$, является многочленом и содержит переменную $x$. Следовательно, это выражение содержит алгебраическую дробь (является дробно-рациональным выражением).

Ответ: является алгебраической дробью.

2) $\frac{3x-4}{3}+\frac{2}{5}$

Знаменатели дробей (3 и 5) являются числами и не содержат переменных. Это выражение можно преобразовать к многочлену: $\frac{5(3x-4)+3 \cdot 2}{15} = \frac{15x-20+6}{15} = \frac{15x-14}{15} = x - \frac{14}{15}$. Это целое выражение.

Ответ: не является алгебраической дробью.

3) $\frac{5-x}{x^2}$

В этой дроби числитель $5-x$ и знаменатель $x^2$ являются многочленами. Знаменатель $x^2$ содержит переменную. По определению, это алгебраическая дробь.

Ответ: является алгебраической дробью.

4) $\frac{6x^2+x-1}{x+2}+2x$

Выражение содержит дробь $\frac{6x^2+x-1}{x+2}$, в которой знаменатель $x+2$ является многочленом, содержащим переменную $x$. Следовательно, это выражение является дробно-рациональным.

Ответ: является алгебраической дробью.

5) $\frac{2}{x+1}-0,4$

Выражение содержит дробь $\frac{2}{x+1}$. Знаменатель $x+1$ — это многочлен, который содержит переменную $x$. Следовательно, это выражение является дробно-рациональным.

Ответ: является алгебраической дробью.

6) $\frac{x-4}{2}+\frac{2x}{5}$

Знаменатели дробей (2 и 5) являются числами, не содержащими переменных. Выражение можно упростить до многочлена: $\frac{5(x-4)+2(2x)}{10} = \frac{5x-20+4x}{10} = \frac{9x-20}{10}$. Это целое выражение.

Ответ: не является алгебраической дробью.

7) $\frac{5-x}{x+2x^2}$

В этой дроби числитель $5-x$ и знаменатель $x+2x^2$ являются многочленами. Знаменатель содержит переменную $x$. Таким образом, это алгебраическая дробь.

Ответ: является алгебраической дробью.

8) $\frac{\sqrt{x-1}}{2}+2x$

Это выражение содержит $\sqrt{x-1}$. Поскольку переменная $x$ находится под знаком квадратного корня, числитель дроби не является многочленом. Такое выражение называется иррациональным, а не алгебраической дробью.

Ответ: не является алгебраической дробью.

Итог:

Алгебраическими дробями (или выражениями, их содержащими) являются выражения под номерами: 1, 3, 4, 5, 7.