Номер 18.20, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.20. Упростите выражение:

1) $\frac{x^2 + 2ax + 3x - 6a}{x^2 + 2xa + 3x + 6a};$

2) $\frac{9x^2 - 25a^2}{9x^2 + 30xa + 25a^2}.$

Найдите его значение при $x=2\frac{3}{7}$ и $a=-3,3$. Ответ округлите до десятых.

1) Упростим выражение $\frac{x^2+2ax+3x-6a}{x^2+2xa+3x+6a}$.

Для упрощения разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

Знаменатель: $x^2+2ax+3x+6a = (x^2+2ax)+(3x+6a) = x(x+2a)+3(x+2a) = (x+2a)(x+3)$.

Числитель: $x^2+2ax+3x-6a = (x^2+2ax)+(3x-6a) = x(x+2a)+3(x-2a)$.

В данном случае общих множителей для сокращения нет, но сгруппированные выражения удобнее для подстановки значений.

Выражение принимает вид: $\frac{x(x+2a)+3(x-2a)}{(x+2a)(x+3)}$.

Найдем значение выражения при $x=2\frac{3}{7}$ и $a=-3,3$.

Переведем значения в неправильные дроби: $x = \frac{17}{7}$, $a = -3,3 = -\frac{33}{10}$.

Вычислим значения вспомогательных выражений:

$x+2a = \frac{17}{7} + 2 \cdot (-\frac{33}{10}) = \frac{17}{7} - \frac{33}{5} = \frac{17 \cdot 5 - 33 \cdot 7}{35} = \frac{85 - 231}{35} = -\frac{146}{35}$.

$x-2a = \frac{17}{7} - 2 \cdot (-\frac{33}{10}) = \frac{17}{7} + \frac{33}{5} = \frac{17 \cdot 5 + 33 \cdot 7}{35} = \frac{85 + 231}{35} = \frac{316}{35}$.

$x+3 = \frac{17}{7} + 3 = \frac{17+21}{7} = \frac{38}{7}$.

Подставим эти значения в выражение.

Числитель: $x(x+2a)+3(x-2a) = \frac{17}{7} \cdot (-\frac{146}{35}) + 3 \cdot (\frac{316}{35}) = -\frac{2482}{245} + \frac{948}{35} = \frac{-2482 + 948 \cdot 7}{245} = \frac{-2482+6636}{245} = \frac{4154}{245}$.

Знаменатель: $(x+2a)(x+3) = (-\frac{146}{35}) \cdot \frac{38}{7} = -\frac{146 \cdot 38}{35 \cdot 7} = -\frac{5548}{245}$.

Значение дроби: $\frac{\frac{4154}{245}}{-\frac{5548}{245}} = -\frac{4154}{5548} = -\frac{2077}{2774}$.

Выполним деление и округлим до десятых: $-\frac{2077}{2774} \approx -0,7487... \approx -0,7$.

Ответ: -0,7

2) Упростим выражение $\frac{9x^2-25a^2}{9x^2+30xa+25a^2}$.

Числитель представляет собой разность квадратов: $9x^2-25a^2 = (3x)^2 - (5a)^2 = (3x-5a)(3x+5a)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы: $9x^2+30xa+25a^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (5a) + (5a)^2 = (3x+5a)^2$.

Сократим дробь: $\frac{(3x-5a)(3x+5a)}{(3x+5a)^2} = \frac{3x-5a}{3x+5a}$.

Найдем значение выражения при $x=2\frac{3}{7} = \frac{17}{7}$ и $a=-3,3 = -\frac{33}{10}$.

Вычислим значения числителя и знаменателя упрощенной дроби.

$3x-5a = 3 \cdot \frac{17}{7} - 5 \cdot (-\frac{33}{10}) = \frac{51}{7} + \frac{165}{10} = \frac{51}{7} + \frac{33}{2} = \frac{51 \cdot 2 + 33 \cdot 7}{14} = \frac{102+231}{14} = \frac{333}{14}$.

$3x+5a = 3 \cdot \frac{17}{7} + 5 \cdot (-\frac{33}{10}) = \frac{51}{7} - \frac{33}{2} = \frac{51 \cdot 2 - 33 \cdot 7}{14} = \frac{102-231}{14} = -\frac{129}{14}$.

Значение дроби: $\frac{\frac{333}{14}}{-\frac{129}{14}} = -\frac{333}{129}$.

Сократим дробь на 3: $-\frac{333 \div 3}{129 \div 3} = -\frac{111}{43}$.

Выполним деление и округлим до десятых: $-\frac{111}{43} \approx -2,581... \approx -2,6$.

Ответ: -2,6