Вопросы, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему при решении квадратных неравенств можно воспользоваться методом интервалов?

При решении квадратных неравенств можно воспользоваться методом интервалов, поскольку этот метод основан на ключевом свойстве квадратичной функции — её непрерывности. Рассмотрим этот принцип более подробно.

Связь квадратного неравенства с функцией

Решение квадратного неравенства, такого как $ax^2 + bx + c > 0$ (или с другим знаком: $<$, $\ge$, $\le$), по сути, является задачей нахождения интервалов на оси $x$, для которых график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ находится выше (или ниже) оси абсцисс.

Непрерывность и смена знака

Квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ является непрерывной на всей числовой прямой. Это значит, что её график (парабола) представляет собой сплошную линию без разрывов. Важнейшее следствие из этого свойства: функция может изменить свой знак (то есть перейти от положительных значений к отрицательным или наоборот) только в той точке, где она равна нулю.

Роль корней уравнения

Точки, в которых значение функции равно нулю ($y=0$), являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Графически — это точки пересечения параболы с осью Ox. Именно эти точки (корни), если они существуют, и являются "граничными" точками, которые разбивают числовую прямую на интервалы.

Принцип постоянства знака на интервалах

Так как квадратичная функция меняет знак только в своих корнях, на каждом из интервалов, на которые корни разбивают числовую прямую, функция сохраняет свой знак. Она будет либо всегда положительной, либо всегда отрицательной на всём протяжении этого интервала.

Например, если уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_1 < x_2$), то они разделят всю числовую ось на три интервала: $(-\infty; x_1)$, $(x_1; x_2)$ и $(x_2; \infty)$. На каждом из этих трёх интервалов знак выражения $ax^2 + bx + c$ будет постоянным. Это позволяет, определив знак в одной любой точке интервала, сделать вывод о знаке на всём интервале.

Это наглядно показано на схеме (для случая, когда ветви параболы направлены вверх, т.е. $a > 0$):

Процедура нахождения корней, нанесения их на числовую прямую и определения знаков на получившихся интервалах и составляет суть метода интервалов применительно к квадратным неравенствам.

Ответ: Метод интервалов можно использовать при решении квадратных неравенств, потому что левая часть такого неравенства, $f(x) = ax^2 + bx + c$, является непрерывной функцией. Согласно свойству непрерывных функций, функция может изменить свой знак (с положительного на отрицательный или наоборот) только в тех точках, где её значение равно нулю. Для квадратичной функции это её корни. Корни разбивают числовую ось на интервалы, в каждом из которых знак функции постоянен. Это позволяет определить знак функции на всём интервале, проверив его лишь в одной точке, что и составляет основу метода интервалов.