Номер 18.17, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.17. Используя четырехзначные математические таблицы Брадиса, найдите приближенные значения корней квадратного уравнения:

1) $3x^2 - 7x - 31 = 0;$

2) $5x^2 + 17x - 11 = 0;$

3) $-6x^2 + 18x + 41 = 0.$

Ответ округлите до сотых.

1) $3x^2 - 7x - 31 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=-7$, $c=-31$.

Сначала найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-31) = 49 + 372 = 421$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Для вычисления корней нам нужно найти приближенное значение $\sqrt{421}$. Воспользуемся таблицами Брадиса. Для этого представим число 421 в виде $4.21 \cdot 100$. Тогда $\sqrt{421} = \sqrt{4.21 \cdot 100} = 10\sqrt{4.21}$.

По таблице квадратных корней Брадиса (Таблица II) находим значение для 4.21. Для этого находим строку "4.2" и столбец "1". На их пересечении стоит число 2.052.

Таким образом, $\sqrt{421} \approx 10 \cdot 2.052 = 20.52$.

Теперь можем вычислить приближенные значения корней:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{421}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + \sqrt{421}}{6} \approx \frac{7 + 20.52}{6} = \frac{27.52}{6} \approx 4.5866...$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{421}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - \sqrt{421}}{6} \approx \frac{7 - 20.52}{6} = \frac{-13.52}{6} \approx -2.2533...$

Округлим полученные значения до сотых:

$x_1 \approx 4.59$

$x_2 \approx -2.25$

Ответ: $x_1 \approx 4.59$, $x_2 \approx -2.25$.

2) $5x^2 + 17x - 11 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=5$, $b=17$, $c=-11$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-11) = 289 + 220 = 509$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем приближенное значение $\sqrt{509}$. Используя таблицы Брадиса, представим число 509 как $5.09 \cdot 100$. Тогда $\sqrt{509} = \sqrt{5.09 \cdot 100} = 10\sqrt{5.09}$.

По таблице квадратных корней Брадиса находим значение для 5.09. В строке "5.0" и столбце "9" находим значение 2.256.

Таким образом, $\sqrt{509} \approx 10 \cdot 2.256 = 22.56$.

Теперь вычислим приближенные значения корней по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-17 + \sqrt{509}}{2 \cdot 5} = \frac{-17 + \sqrt{509}}{10} \approx \frac{-17 + 22.56}{10} = \frac{5.56}{10} = 0.556$.

$x_2 = \frac{-17 - \sqrt{509}}{2 \cdot 5} = \frac{-17 - \sqrt{509}}{10} \approx \frac{-17 - 22.56}{10} = \frac{-39.56}{10} = -3.956$.

Округлим полученные значения до сотых:

$x_1 \approx 0.56$

$x_2 \approx -3.96$

Ответ: $x_1 \approx 0.56$, $x_2 \approx -3.96$.

3) $-6x^2 + 18x + 41 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=-6$, $b=18$, $c=41$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 18^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 41 = 324 + 24 \cdot 41 = 324 + 984 = 1308$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем приближенное значение $\sqrt{1308}$. Используя таблицы Брадиса, представим число 1308 как $13.08 \cdot 100$. Тогда $\sqrt{1308} = \sqrt{13.08 \cdot 100} = 10\sqrt{13.08}$.

По таблице квадратных корней Брадиса находим значение $\sqrt{13.08}$. Для этого находим значение для 13.0 (в строке "13" и столбце "0"), которое равно 3.606, и добавляем поправку для последней цифры "8" из соответствующего столбца поправок. Поправка для 8 в этой строке равна 11 (что означает 0.011). Таким образом, $\sqrt{13.08} \approx 3.606 + 0.011 = 3.617$.

Следовательно, $\sqrt{1308} \approx 10 \cdot 3.617 = 36.17$.

Теперь вычислим приближенные значения корней по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-18 + \sqrt{1308}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-18 + \sqrt{1308}}{-12} \approx \frac{-18 + 36.17}{-12} = \frac{18.17}{-12} \approx -1.5141...$

$x_2 = \frac{-18 - \sqrt{1308}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-18 - \sqrt{1308}}{-12} \approx \frac{-18 - 36.17}{-12} = \frac{-54.17}{-12} \approx 4.5141...$

Округлим полученные значения до сотых:

$x_1 \approx -1.51$

$x_2 \approx 4.51$

Ответ: $x_1 \approx -1.51$, $x_2 \approx 4.51$.