Номер 18.10, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.10. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 0,5x^2 - 2,5$;2) $f(x) = 8 - 3x^2$;3) $f(x) = 13 - 4x^2$.

Используя график функции $y = f(x)$, на оси $Ox$ укажите промежуток, на котором выполняется неравенство $f(x) \le 5$.

1) f(x) = 0,5x² - 2,5

Графиком функции $y = 0,5x^2 - 2,5$ является парабола. Это стандартная парабола $y=x^2$, сжатая к оси Ox в 2 раза (коэффициент 0,5) и смещенная на 2,5 единицы вниз по оси Oy.

Основные характеристики:

• Коэффициент при $x^2$ равен 0,5, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Вершина параболы находится в точке с координатами $x_0 = -b/(2a) = 0$; $y_0 = 0,5 \cdot 0^2 - 2,5 = -2,5$. Вершина: $(0; -2,5)$.
• Ось симметрии параболы — ось Oy ($x=0$).
• Найдем несколько точек для построения графика:
  при $x = \pm 1$, $y = 0,5 \cdot 1^2 - 2,5 = -2$. Точки: $(-1; -2)$ и $(1; -2)$.
  при $x = \pm 2$, $y = 0,5 \cdot 2^2 - 2,5 = 2 - 2,5 = -0,5$. Точки: $(-2; -0,5)$ и $(2; -0,5)$.
  при $x = \pm 3$, $y = 0,5 \cdot 3^2 - 2,5 = 4,5 - 2,5 = 2$. Точки: $(-3; 2)$ и $(3; 2)$.
  при $x = \pm 4$, $y = 0,5 \cdot 4^2 - 2,5 = 8 - 2,5 = 5,5$. Точки: $(-4; 5,5)$ и $(4; 5,5)$.

Построим график функции.

Теперь решим неравенство $f(x) \le 5$. На графике это означает, что мы ищем те значения $x$, при которых парабола находится ниже или на уровне горизонтальной прямой $y=5$.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с прямой $y=5$:

$0,5x^2 - 2,5 = 5$

$0,5x^2 = 7,5$

$x^2 = 15$

$x = \pm\sqrt{15}$

Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции меньше или равны 5 между точками пересечения. На оси Ox этому соответствует промежуток от $-\sqrt{15}$ до $\sqrt{15}$ включительно. Этот промежуток выделен на оси Ox на графике.

Ответ: $x \in [-\sqrt{15}; \sqrt{15}]$.

2) f(x) = 8 - 3x²

Графиком функции $y = 8 - 3x^2$ является парабола. Это стандартная парабола $y=x^2$, перевернутая, растянутая вдоль оси Oy в 3 раза и смещенная на 8 единиц вверх по оси Oy.

Основные характеристики:

• Коэффициент при $x^2$ равен -3, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы находится в точке с координатами $x_0 = 0$; $y_0 = 8 - 3 \cdot 0^2 = 8$. Вершина: $(0; 8)$.
• Ось симметрии параболы — ось Oy ($x=0$).
• Найдем несколько точек для построения графика:
  при $x = \pm 1$, $y = 8 - 3 \cdot 1^2 = 5$. Точки: $(-1; 5)$ и $(1; 5)$.
  при $x = \pm 2$, $y = 8 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$. Точки: $(-2; -4)$ и $(2; -4)$.

Построим график функции.

Теперь решим неравенство $f(x) \le 5$. На графике это означает, что мы ищем те значения $x$, при которых парабола находится ниже или на уровне горизонтальной прямой $y=5$.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с прямой $y=5$:

$8 - 3x^2 = 5$

$3 = 3x^2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции меньше или равны 5 на участках левее точки $x=-1$ и правее точки $x=1$, включая сами точки. На оси Ox этому соответствуют два промежутка: от $-\infty$ до $-1$ и от $1$ до $+\infty$. Эти промежутки выделены на оси Ox на графике.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

3) f(x) = 13 - 4x²

Графиком функции $y = 13 - 4x^2$ является парабола. Это стандартная парабола $y=x^2$, перевернутая, растянутая вдоль оси Oy в 4 раза и смещенная на 13 единиц вверх по оси Oy.

Основные характеристики:

• Коэффициент при $x^2$ равен -4, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы находится в точке с координатами $x_0 = 0$; $y_0 = 13 - 4 \cdot 0^2 = 13$. Вершина: $(0; 13)$.
• Ось симметрии параболы — ось Oy ($x=0$).
• Найдем несколько точек для построения графика:
  при $x = \pm 1$, $y = 13 - 4 \cdot 1^2 = 9$. Точки: $(-1; 9)$ и $(1; 9)$.
  при $x = \pm 2$, $y = 13 - 4 \cdot 2^2 = 13 - 16 = -3$. Точки: $(-2; -3)$ и $(2; -3)$.

Построим график функции.

Теперь решим неравенство $f(x) \le 5$. На графике это означает, что мы ищем те значения $x$, при которых парабола находится ниже или на уровне горизонтальной прямой $y=5$.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с прямой $y=5$:

$13 - 4x^2 = 5$

$8 = 4x^2$

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции меньше или равны 5 на участках левее точки $x=-\sqrt{2}$ и правее точки $x=\sqrt{2}$, включая сами точки. На оси Ox этому соответствуют два промежутка: от $-\infty$ до $-\sqrt{2}$ и от $\sqrt{2}$ до $+\infty$. Эти промежутки выделены на оси Ox на графике.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \infty)$.