Номер 18.9, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.9. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 0,5x^2 - 2,5$;

2) $f(x) = x^2 - 7$;

3) $f(x) = 2 - 4x^2$.

Используя график функции $y = f(x)$, на оси $Ox$ укажите числовой промежуток, на котором выполняется неравенство $f(x) \ge 2$.

1) f(x) = 0,5x² - 2,5

Графиком функции $y = 0,5x^2 - 2,5$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 0,5 > 0$), ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$
$y_в = f(0) = 0,5 \cdot 0^2 - 2,5 = -2,5$
Вершина параболы находится в точке $(0; -2,5)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = \pm 2$, $y = 0,5 \cdot (\pm 2)^2 - 2,5 = 0,5 \cdot 4 - 2,5 = 2 - 2,5 = -0,5$. Точки: $(2; -0,5)$ и $(-2; -0,5)$.
При $x = \pm 3$, $y = 0,5 \cdot (\pm 3)^2 - 2,5 = 0,5 \cdot 9 - 2,5 = 4,5 - 2,5 = 2$. Точки: $(3; 2)$ и $(-3; 2)$.
Построим график функции и прямую $y = 2$.

Для решения неравенства $f(x) \geq 2$ необходимо найти значения $x$, при которых график функции $y = 0,5x^2 - 2,5$ лежит не ниже прямой $y = 2$.
Из графика видно, что это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до точки пересечения с абсциссой $x=-3$ и от точки пересечения с абсциссой $x=3$ до $+\infty$.
Решим неравенство аналитически:
$0,5x^2 - 2,5 \geq 2$
$0,5x^2 \geq 4,5$
$x^2 \geq 9$
$|x| \geq 3$
Это неравенство выполняется при $x \leq -3$ или $x \geq 3$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

2) f(x) = x² - 7

Графиком функции $y = x^2 - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$). Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 7 единиц вниз.
Координаты вершины параболы:
$x_в = 0$
$y_в = 0^2 - 7 = -7$
Вершина находится в точке $(0; -7)$.
Найдем точки пересечения с прямой $y=2$ для построения графика и решения неравенства:
$x^2 - 7 = 2 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. Точки пересечения: $(-3; 2)$ и $(3; 2)$.
Построим график функции и прямую $y = 2$.

Используя график, определим, при каких $x$ выполняется неравенство $f(x) \geq 2$. Это та часть графика параболы, которая расположена не ниже красной пунктирной линии $y=2$.
Это соответствует промежуткам $x \in (-\infty; -3]$ и $x \in [3; \infty)$.
Аналитическое решение:
$x^2 - 7 \geq 2$
$x^2 \geq 9$
$|x| \geq 3$
Следовательно, $x \leq -3$ или $x \geq 3$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

3) f(x) = 2 - 4x²

Графиком функции $y = 2 - 4x^2$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -4 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-4)} = 0$
$y_в = 2 - 4 \cdot 0^2 = 2$
Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = \pm 0,5$, $y = 2 - 4 \cdot (0,5)^2 = 2 - 4 \cdot 0,25 = 2 - 1 = 1$. Точки: $(0,5; 1)$ и $(-0,5; 1)$.
При $x = \pm 1$, $y = 2 - 4 \cdot 1^2 = 2 - 4 = -2$. Точки: $(1; -2)$ и $(-1; -2)$.
Построим график функции и прямую $y = 2$.

Для решения неравенства $f(x) \geq 2$ нужно найти значения $x$, при которых парабола $y = 2 - 4x^2$ находится не ниже прямой $y=2$.
Из графика видно, что вершина параболы $(0; 2)$ является её наивысшей точкой и лежит на прямой $y=2$. Все остальные точки параболы находятся ниже этой прямой.
Следовательно, неравенство $f(x) \geq 2$ выполняется только в одной точке, где $f(x)=2$. Это происходит в вершине параболы, то есть при $x=0$.
Решим аналитически:
$2 - 4x^2 \geq 2$
$-4x^2 \geq 0$
Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:
$x^2 \leq 0$
Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \geq 0$), единственным решением этого неравенства является $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Ответ: $\{0\}$.