Номер 18.2, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.2. Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает неположительные значения функция:

1) $y = 2x^2 - 6x;$

2) $y = -3x^2 + 5x;$

3) $y = -x^2 + 4x - 4;$

4) $y = -2x^2 - 2,6x.$

Для решения задачи "Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает неположительные значения функция" необходимо для каждой квадратичной функции определить направление ветвей параболы и ее точки пересечения с осью абсцисс (нули функции). Неположительные значения означают $y \le 0$, то есть та часть графика, которая лежит на оси Ox или ниже нее.

1) $y = 2x^2 - 6x$

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $2$, он положителен ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение $2x^2 - 6x = 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $2x(x - 3) = 0$. Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Это точки, в которых парабола пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [0, 3]$.

2) $y = -3x^2 + 5x$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-3$, он отрицателен ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(-3x + 5) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{5}{3}$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) на участках левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, график находится на оси Ox или ниже нее при $x \le 0$ или $x \ge \frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{5}{3}, +\infty)$.

3) $y = -x^2 + 4x - 4$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, он отрицателен ($a < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 + 4x - 4 = 0$. Умножим уравнение на $-1$: $x^2 - 4x + 4 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(x - 2)^2 = 0$. Уравнение имеет один корень $x = 2$ (кратности 2). Это означает, что парабола не пересекает ось Ox, а касается ее в своей вершине в точке $(2, 0)$. Так как ветви параболы направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси Ox, за исключением точки касания, где $y=0$. Следовательно, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) $y = -2x^2 - 2,6x$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицателен ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 - 2,6x = 0$. Вынесем $-x$ за скобки: $-x(2x + 2,6) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $2x + 2,6 = 0 \Rightarrow 2x = -2,6 \Rightarrow x_2 = -1,3$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) на участках левее меньшего корня ($-1,3$) и правее большего корня ($0$), включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty, -1,3] \cup [0, +\infty)$.