Номер 18.1, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.1. Используя график функции, найдите множество значений переменной, при которых принимает неотрицательные значения функция:

1) $y = x^2 - 9$; 2) $y = 2x^2 - 6$; 3) $y = 5 - x^2$; 4) $y = 6 - 2x^2$.

1)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 9$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$), сначала найдем точки, в которых функция равна нулю ($y=0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox).

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Вершина параболы находится в точке $(0, -9)$.

Изобразим схематический график функции. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 3$ и ее ветви направлены вверх.

Из графика видно, что значения функции неотрицательны ($y \ge 0$), когда график находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до $-3$ включительно и от $3$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 6$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $y = 0$:

$2x^2 - 6 = 0$

$2x^2 = 6$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

Вершина параболы находится в точке $(0, -6)$.

Изобразим схематический график. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ и ее ветви направлены вверх.

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на участках, где ее график лежит на оси Ox или выше. Из графика видно, что это выполняется при $x \le -\sqrt{3}$ и при $x \ge \sqrt{3}$.

Ответ: $(-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

3)

Рассмотрим функцию $y = 5 - x^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $y = 0$:

$5 - x^2 = 0$

$x^2 = 5$

$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$

Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Изобразим схематический график. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\sqrt{5}$ и $x = \sqrt{5}$ и ее ветви направлены вниз.

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$), когда ее график находится на оси Ox или выше нее. Из графика видно, что это происходит на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

4)

Рассмотрим функцию $y = 6 - 2x^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательное число), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $y = 0$:

$6 - 2x^2 = 0$

$2x^2 = 6$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

Вершина параболы находится в точке $(0, 6)$.

Изобразим схематический график. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ и ее ветви направлены вниз.

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$), когда ее график находится на оси Ox или выше нее. Из графика видно, что это выполняется для всех $x$ между $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$, включая эти точки.

Ответ: $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.