Номер 18.5, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.5. Решите квадратное неравенство:

1) $x^2 - x - 56 \geq 0$

2) $-x^2 + x + 72 > 0$

3) $x^2 + x - 90 < 0$

4) $x^2 + x - 210 \leq 0$

5) $2x^2 - 7x + 6 < 0$

6) $25x^2 + 90x + 81 \leq 0$

7) $5x^2 - 12x + 4 > 0$

8) $36x^2 - 84x + 49 > 0$

9) $0.25x^2 - x > -1$

10) $7x^2 + 18x < -5$

11) $-3x^2 + 11x + 4 \leq 0$

12) $9x^2 - 4x - 2 \geq 0$

13) $3y^2 + 7y + 4 < 0$

14) $3y^2 - 6y + 3 > 0$

15) $9y^2 - 6y + 1 < 0$

16) $2y^2 + 9y - 486 \leq 0$

1) Для решения квадратного неравенства $x^2 - x - 56 \ge 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 56 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.

Найдем корни по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 15}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + 15}{2} = 8$ и $x_2 = \frac{1 - 15}{2} = -7$.

Парабола $y = x^2 - x - 56$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, квадратичная функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) на промежутках вне корней, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -7] \cup [8; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -7] \cup [8; +\infty)$.

2) Решим неравенство $-x^2 + x + 72 > 0$. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - x - 72 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 72 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 17}{2}$. Получаем $x_1 = 9$ и $x_2 = -8$.

Парабола $y = x^2 - x - 72$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-8; 9)$.

Ответ: $(-8; 9)$.

3) Решим неравенство $x^2 + x - 90 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 90 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 19}{2}$. Получаем $x_1 = 9$ и $x_2 = -10$.

Парабола $y = x^2 + x - 90$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-10; 9)$.

Ответ: $(-10; 9)$.

4) Решим неравенство $x^2 + x - 210 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 210 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841 = 29^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 29}{2}$. Получаем $x_1 = 14$ и $x_2 = -15$.

Парабола $y = x^2 + x - 210$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Функция принимает неположительные значения ($\le 0$) между корнями, включая сами корни.

Решение неравенства: $x \in [-15; 14]$.

Ответ: $[-15; 14]$.

5) Решим неравенство $2x^2 - 7x + 6 < 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 6 = 0$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 = 1^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{4}$. Получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = 1.5$.

Парабола $y = 2x^2 - 7x + 6$ имеет ветви, направленные вверх ($a=2 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $x \in (1.5; 2)$.

Ответ: $(1.5; 2)$.

6) Решим неравенство $25x^2 + 90x + 81 \le 0$. Заметим, что левая часть является полным квадратом: $25x^2 + 90x + 81 = (5x+9)^2$.

Неравенство принимает вид $(5x+9)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он может быть только равен нулю. Поэтому неравенство выполняется только в том случае, когда $(5x+9)^2 = 0$.

Это происходит при $5x+9=0$, откуда $x = -9/5 = -1.8$.

Решением является единственное число.

Ответ: $x = -1.8$.

7) Решим неравенство $5x^2 - 12x + 4 > 0$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 12x + 4 = 0$.

Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{12 \pm 8}{10}$. Получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = 0.4$.

Парабола $y = 5x^2 - 12x + 4$ имеет ветви, направленные вверх ($a=5 > 0$). Функция принимает положительные значения ($> 0$) вне корней.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 0.4) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0.4) \cup (2; +\infty)$.

8) Решим неравенство $36x^2 - 84x + 49 > 0$. Левая часть является полным квадратом: $36x^2 - 84x + 49 = (6x-7)^2$.

Неравенство принимает вид $(6x-7)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю при $6x-7=0$, то есть при $x = 7/6$. Во всех остальных случаях квадрат строго положителен.

Таким образом, неравенство верно для всех $x$, кроме $x = 7/6$.

Ответ: $(-\infty; 7/6) \cup (7/6; +\infty)$.

9) Решим неравенство $0.25x^2 - x > -1$. Перенесем -1 в левую часть: $0.25x^2 - x + 1 > 0$.

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: $x^2 - 4x + 4 > 0$.

Левая часть является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Неравенство принимает вид $(x-2)^2 > 0$.

Квадрат действительного числа положителен всегда, кроме случая, когда он равен нулю. Это происходит при $x-2=0$, то есть при $x = 2$.

Решение: все действительные числа, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

10) Решим неравенство $7x^2 + 18x < -5$. Перенесем -5 в левую часть: $7x^2 + 18x + 5 < 0$.

Найдем корни уравнения $7x^2 + 18x + 5 = 0$.

Дискриминант: $D = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 324 - 140 = 184$. $\sqrt{184} = \sqrt{4 \cdot 46} = 2\sqrt{46}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-18 \pm 2\sqrt{46}}{14} = \frac{-9 \pm \sqrt{46}}{7}$.

Парабола $y = 7x^2 + 18x + 5$ имеет ветви вверх ($a=7 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $x \in (\frac{-9 - \sqrt{46}}{7}; \frac{-9 + \sqrt{46}}{7})$.

Ответ: $(\frac{-9 - \sqrt{46}}{7}; \frac{-9 + \sqrt{46}}{7})$.

11) Решим неравенство $-3x^2 + 11x + 4 \le 0$. Умножим на -1 и сменим знак: $3x^2 - 11x - 4 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 11x - 4 = 0$.

Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{11 \pm 13}{6}$. Получаем $x_1 = 4$ и $x_2 = -1/3$.

Парабола $y = 3x^2 - 11x - 4$ имеет ветви вверх ($a=3 > 0$). Функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) вне корней, включая корни.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1/3] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1/3] \cup [4; +\infty)$.

12) Решим неравенство $9x^2 - 4x - 2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $9x^2 - 4x - 2 = 0$.

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 16 + 72 = 88$. $\sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{18} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{9}$.

Парабола $y = 9x^2 - 4x - 2$ имеет ветви вверх ($a=9 > 0$). Функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) вне корней, включая корни.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{2-\sqrt{22}}{9}] \cup [\frac{2+\sqrt{22}}{9}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; \frac{2-\sqrt{22}}{9}] \cup [\frac{2+\sqrt{22}}{9}; +\infty)$.

13) Решим неравенство $3y^2 + 7y + 4 < 0$. Найдем корни уравнения $3y^2 + 7y + 4 = 0$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 = 1^2$.

Корни: $y_{1,2} = \frac{-7 \pm 1}{6}$. Получаем $y_1 = -1$ и $y_2 = -8/6 = -4/3$.

Парабола $z = 3y^2 + 7y + 4$ имеет ветви вверх ($a=3 > 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) между корнями.

Решение неравенства: $y \in (-4/3; -1)$.

Ответ: $(-4/3; -1)$.

14) Решим неравенство $3y^2 - 6y + 3 > 0$. Разделим обе части на 3: $y^2 - 2y + 1 > 0$.

Левая часть является полным квадратом: $y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.

Неравенство принимает вид $(y-1)^2 > 0$.

Квадрат действительного числа положителен всегда, кроме случая, когда он равен нулю. Это происходит при $y-1=0$, то есть при $y = 1$.

Решение: все действительные числа, кроме $y=1$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

15) Решим неравенство $9y^2 - 6y + 1 < 0$. Левая часть является полным квадратом: $9y^2 - 6y + 1 = (3y-1)^2$.

Неравенство принимает вид $(3y-1)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он всегда больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Решений нет.

Ответ: $\emptyset$.

16) Решим неравенство $2y^2 + 9y - 486 \le 0$. Найдем корни уравнения $2y^2 + 9y - 486 = 0$.

Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-486) = 81 + 3888 = 3969 = 63^2$.

Корни: $y_{1,2} = \frac{-9 \pm 63}{4}$. Получаем $y_1 = \frac{54}{4} = 13.5$ и $y_2 = \frac{-72}{4} = -18$.

Парабола $z = 2y^2 + 9y - 486$ имеет ветви вверх ($a=2 > 0$). Функция принимает неположительные значения ($\le 0$) между корнями, включая корни.

Решение неравенства: $y \in [-18; 13.5]$.

Ответ: $[-18; 13.5]$.