Вопросы, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как называется множество, которое образуют все значения переменной, удовлетворяющие квадратному неравенству?

2. При каких значениях коэффициента $a$ и дискриминанта $D$ решением квадратного неравенства является пустое множество?

3. В каком случае ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх; вниз?

4. Равносильны ли неравенства: $-x^2 - 5x + 3 < 0$ и $x^2 + 5x - 3 < 0$?

1. Множество всех значений переменной, которые обращают неравенство в верное числовое неравенство, называется множеством решений неравенства или просто решением неравенства. Это множество может быть интервалом, объединением интервалов, отдельными точками или пустым множеством.

Ответ: Множество решений неравенства.

2. Решением квадратного неравенства является пустое множество, когда график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ целиком расположен так, что ни одна его точка не удовлетворяет условию неравенства. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы) и знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет количество точек пересечения с осью Ox).

Рассмотрим четыре вида квадратных неравенств:

• Для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ решением будет пустое множество, если парабола полностью расположена ниже оси Ox или касается ее. Это возможно, только если ветви параболы направлены вниз ($a < 0$) и она не имеет точек выше оси Ox. Условие: $a < 0$ и $D \leq 0$.

• Для неравенства $ax^2 + bx + c \geq 0$ решением будет пустое множество, если парабола полностью расположена строго ниже оси Ox. Это возможно, только если ветви параболы направлены вниз ($a < 0$) и она не пересекает ось Ox. Условие: $a < 0$ и $D < 0$.

• Для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ решением будет пустое множество, если парабола полностью расположена выше оси Ox или касается ее. Это возможно, только если ветви параболы направлены вверх ($a > 0$) и она не имеет точек ниже оси Ox. Условие: $a > 0$ и $D \leq 0$.

• Для неравенства $ax^2 + bx + c \leq 0$ решением будет пустое множество, если парабола полностью расположена строго выше оси Ox. Это возможно, только если ветви параболы направлены вверх ($a > 0$) и она не пересекает ось Ox. Условие: $a > 0$ и $D < 0$.

Ответ: Пустое множество является решением в следующих случаях:
1) для $ax^2 + bx + c > 0$ при $a < 0$ и $D \leq 0$;
2) для $ax^2 + bx + c \geq 0$ при $a < 0$ и $D < 0$;
3) для $ax^2 + bx + c < 0$ при $a > 0$ и $D \leq 0$;
4) для $ax^2 + bx + c \leq 0$ при $a > 0$ и $D < 0$.

3. Направление ветвей параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, определяется знаком старшего коэффициента $a$.
• Если коэффициент $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.
• Если коэффициент $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$.

4. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Проверим, равносильны ли данные неравенства.

Первое неравенство: $-x^2 - 5x + 3 < 0$.
Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$(-1) \cdot (-x^2 - 5x + 3) > (-1) \cdot 0$
$x^2 + 5x - 3 > 0$

Второе неравенство: $x^2 + 5x - 3 < 0$.

Таким образом, исходные неравенства равносильны неравенствам $x^2 + 5x - 3 > 0$ и $x^2 + 5x - 3 < 0$.
Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 5x - 3$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$). Найдем ее корни:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$.
Решением неравенства $x^2 + 5x - 3 > 0$ являются значения $x$, при которых парабола находится выше оси Ox, то есть $x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{37}}{2}) \cup (\frac{-5+\sqrt{37}}{2}; +\infty)$.
Решением неравенства $x^2 + 5x - 3 < 0$ являются значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ox, то есть $x \in (\frac{-5-\sqrt{37}}{2}; \frac{-5+\sqrt{37}}{2})$.
Множества решений не совпадают. Следовательно, неравенства не являются равносильными.

Ответ: Нет, неравенства не равносильны.