Номер 17.10, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.10. Постройте график функции $y = |x^2 + 2x - 3|$. Используя график функции, найдите:

1) множество значений функции;

2) ось симметрии.

Для построения графика функции $y = |x^2 + 2x - 3|$ сначала построим график параболы $y_1 = x^2 + 2x - 3$, а затем применим к нему преобразование модуля.

Шаг 1: Анализ и построение параболы $y_1 = x^2 + 2x - 3$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

$y_в = f(x_в) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• С осью абсцисс (Ox), для этого решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.
• С осью ординат (Oy), для этого подставим $x=0$: $y_1 = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.

Шаг 2: Применение преобразования модуля.

График функции $y = |f(x)|$ получается из графика $y = f(x)$ путем отражения той части графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси. Часть графика, находящаяся выше или на оси Ox, остается без изменений.

В нашем случае, часть параболы $y_1 = x^2 + 2x - 3$ на интервале $(-3, 1)$ находится ниже оси Ox. Эту часть мы отражаем вверх. В результате:

• Точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$ остаются на месте.
• Вершина $(-1, -4)$ переходит в точку $(-1, 4)$.
• Точка пересечения с осью Oy $(0, -3)$ переходит в точку $(0, 3)$.

Итоговый график функции $y = |x^2 + 2x - 3|$ показан на рисунке ниже.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) множество значений функции;

Множество значений функции — это совокупность всех значений, которые может принимать $y$. Из графика видно, что наименьшее значение функции равно 0 (в точках $x=-3$ и $x=1$). Так как ветви графика уходят вверх в бесконечность, наибольшего значения у функции нет. Следовательно, функция принимает все неотрицательные значения.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

2) ось симметрии.

Ось симметрии — это прямая, относительно которой график функции симметричен. Исходная парабола $y_1 = x^2 + 2x - 3$ была симметрична относительно прямой $x = -1$, проходящей через ее вершину. Преобразование модуля сохранило эту симметрию. На графике видно, что его левая и правая части симметричны относительно вертикальной прямой, проходящей через точку $(-1, 4)$.

Ответ: $x = -1$.