Номер 17.13, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.13. Постройте график функции $y = x^2 - 4$. Используя график, найдите, при каких значениях $x$ функция принимает неположительные значения.

Постройте график функции $y = x^2 - 4$

Графиком данной функции является парабола. Для ее построения выполним следующие шаги:

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.Координата $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для функции $y = x^2 - 4$ имеем $a=1, b=0, c=-4$.$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.Для нахождения $y_0$ подставим $x_0$ в уравнение функции:$y_0 = 0^2 - 4 = -4$.Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью ординат (Oy): Полагаем $x=0$, получаем $y = 0^2 - 4 = -4$. Точка пересечения — $(0; -4)$, что совпадает с вершиной.
С осью абсцисс (Ox): Полагаем $y=0$, получаем уравнение $x^2 - 4 = 0$.$x^2 = 4$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.Точки пересечения — $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

4. Для большей точности найдем несколько дополнительных точек. В силу симметрии параболы относительно оси Oy, значения y для $x$ и $-x$ будут одинаковы.
При $x = \pm 1$, $y = (\pm 1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точки: $(-1; -3)$ и $(1; -3)$.
При $x = \pm 3$, $y = (\pm 3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Точки: $(-3; 5)$ и $(3; 5)$.

На основе найденных точек строим график:

Используя график, найдите, при каких значениях $x$ функция принимает неположительные значения

Неположительные значения функции — это те значения, при которых $y \le 0$. На графике это соответствует той части параболы, которая находится на оси Ox или ниже нее.

Глядя на график, мы видим, что парабола пересекает ось Ox в точках $x=-2$ и $x=2$. Между этими точками график находится ниже оси Ox. Следовательно, условия $y \le 0$ выполняются для всех $x$ из отрезка от -2 до 2.

Математически это записывается как $x \in [-2; 2]$.

Ответ: функция принимает неположительные значения при $x \in [-2; 2]$.