Номер 18.6, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.6. Решите неравенство:

1) $5x^2 - 7x - 6 > 0;$

2) $3x^2 - 8x + 11 < 0;$

3) $-x^2 - 2x - 6 \ge 0;$

4) $-2x^2 - 9x + 11 \le 0;$

5) $5x^2 - 6 \le 0;$

6) $x^2 - 7x + 6 > 0;$

7) $5x^2 - x + 6 < 0;$

8) $-7x^2 + 12x + 4 > 0;$

9) $\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{2} > 0;$

10) $\frac{2}{5}x^2 + \frac{1}{10}x - \frac{1}{2} \le 0;$

11) $\frac{3}{7}x^2 + \frac{1}{14}x - \frac{1}{2} \ge 0;$

12) $1\frac{1}{3}x^2 - 2\frac{5}{6}x + 1\frac{1}{2} > 0.$

1)

Решим неравенство $5x^2 - 7x - 6 > 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 7x - 6 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$
Графиком функции $y = 5x^2 - 7x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=5 > 0$. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -0.6$ и $x = 2$.
Неравенство $5x^2 - 7x - 6 > 0$ выполняется на тех промежутках, где парабола находится выше оси Ox, то есть вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.6) \cup (2; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $3x^2 - 8x + 11 < 0$.
Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - 8x + 11$ и найдем нули, решив уравнение $3x^2 - 8x + 11 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 64 - 132 = -68$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.
Коэффициент $a=3 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, вся парабола расположена выше оси Ox, и значения функции $y = 3x^2 - 8x + 11$ всегда положительны.
Неравенство $3x^2 - 8x + 11 < 0$ требует найти значения $x$, при которых функция отрицательна. Таких значений не существует.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

3)

Решим неравенство $-x^2 - 2x - 6 \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства: $x^2 + 2x + 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола $y = x^2 + 2x + 6$ не пересекает ось Ox.
Коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, значит, функция всегда принимает положительные значения.
Неравенство $x^2 + 2x + 6 \le 0$ требует, чтобы функция была меньше или равна нулю, что невозможно.
Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

4)

Решим неравенство $-2x^2 - 9x + 11 \le 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак: $2x^2 + 9x - 11 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 9x - 11 = 0$.
Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-22}{4} = -5.5$
$x_2 = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Графиком $y = 2x^2 + 9x - 11$ является парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$). Она положительна или равна нулю вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -5.5] \cup [1; +\infty)$.

5)

Решим неравенство $5x^2 - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 6 = 0$.
$5x^2 = 6 \implies x^2 = \frac{6}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{6}{5}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{5}$.
Парабола $y = 5x^2 - 6$ имеет ветви вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-\sqrt{\frac{6}{5}}; \sqrt{\frac{6}{5}}]$.

6)

Решим неравенство $x^2 - 7x + 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Парабола $y = x^2 - 7x + 6$ с ветвями вверх ($a=1 > 0$) положительна вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (6; +\infty)$.

7)

Решим неравенство $5x^2 - x + 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 1 - 120 = -119$.
Так как $D < 0$ и $a=5 > 0$, парабола $y = 5x^2 - x + 6$ целиком лежит выше оси Ox и принимает только положительные значения. Следовательно, неравенство $5x^2 - x + 6 < 0$ не имеет решений.
Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

8)

Решим неравенство $-7x^2 + 12x + 4 > 0$.
Умножим на -1: $7x^2 - 12x - 4 < 0$.
Найдем корни уравнения $7x^2 - 12x - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 144 + 112 = 256 = 16^2$.
$x_1 = \frac{12 - 16}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$
$x_2 = \frac{12 + 16}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$
Парабола $y = 7x^2 - 12x - 4$ с ветвями вверх ($a=7>0$) отрицательна на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{7}; 2)$.

9)

Решим неравенство $\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{2} > 0$.
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей: $4x^2 - x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Парабола $y = 4x^2 - x - 3$ с ветвями вверх ($a=4>0$) положительна вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{4}) \cup (1; +\infty)$.

10)

Решим неравенство $\frac{2}{5}x^2 + \frac{1}{10}x - \frac{1}{2} \le 0$.
Умножим обе части на 10: $4x^2 + x - 5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 + x - 5 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
$x_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Парабола $y = 4x^2 + x - 5$ с ветвями вверх ($a=4>0$) отрицательна или равна нулю на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{4}; 1]$.

11)

Решим неравенство $\frac{3}{7}x^2 + \frac{1}{14}x - \frac{1}{2} \ge 0$.
Умножим обе части на 14: $6x^2 + x - 7 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $6x^2 + x - 7 = 0$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6}$
$x_2 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$
Парабола $y = 6x^2 + x - 7$ с ветвями вверх ($a=6>0$) положительна или равна нулю вне отрезка между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{6}] \cup [1; +\infty)$.

12)

Решим неравенство $1\frac{1}{3}x^2 - 2\frac{5}{6}x + 1\frac{1}{2} > 0$.
Переведем смешанные дроби в неправильные: $\frac{4}{3}x^2 - \frac{17}{6}x + \frac{3}{2} > 0$.
Умножим обе части на 6: $8x^2 - 17x + 9 > 0$.
Найдем корни уравнения $8x^2 - 17x + 9 = 0$.
Дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 9 = 289 - 288 = 1$.
$x_1 = \frac{17 - 1}{2 \cdot 8} = \frac{16}{16} = 1$
$x_2 = \frac{17 + 1}{2 \cdot 8} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$
Парабола $y = 8x^2 - 17x + 9$ с ветвями вверх ($a=8>0$) положительна вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{9}{8}; +\infty)$.