Номер 18.8, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.8. Найдите коэффициенты $p$ и $q$ функции:

1) $y = x^2 + px + q$, если известно, что она принимает отрицательные значения только при $-3 < x < 4$;

2) $y = -2x^2 + px + q$, если известно, что она принимает положительные значения только при $-2 < x < 6$;

3) $y = -3x^2 + px + q$, если известно, что она принимает неположительные значения только при $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$;

4) $y = 5x^2 + px + q$, если известно, что она принимает неотрицательные значения только при $x \in (-\infty; -4] \cup [6; +\infty)$.

1) Дана функция $y = x^2 + px + q$. По условию, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) только на интервале $(-3; 4)$.

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Парабола с ветвями вверх принимает отрицательные значения между своими корнями. Таким образом, числа $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):

$x_1 + x_2 = -p \implies -3 + 4 = -p \implies 1 = -p \implies p = -1$

$x_1 \cdot x_2 = q \implies (-3) \cdot 4 = q \implies q = -12$

Ответ: $p = -1, q = -12$.

2) Дана функция $y = -2x^2 + px + q$. По условию, функция принимает положительные значения ($y > 0$) только на интервале $(-2; 6)$.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $a=-2 < 0$. Парабола с ветвями вниз принимает положительные значения между своими корнями. Следовательно, $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$ являются корнями уравнения $-2x^2 + px + q = 0$.

По обобщенной теореме Виета для уравнения $ax^2+bx+c=0$ ($x_1+x_2 = -b/a$, $x_1 \cdot x_2 = c/a$), где в нашем случае $a=-2$, $b=p$, $c=q$:

$x_1 + x_2 = -p/a \implies -2 + 6 = -p/(-2) \implies 4 = p/2 \implies p = 8$

$x_1 \cdot x_2 = q/a \implies (-2) \cdot 6 = q/(-2) \implies -12 = q/(-2) \implies q = 24$

Ответ: $p = 8, q = 24$.

3) Дана функция $y = -3x^2 + px + q$. По условию, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) только при $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

Графиком является парабола с ветвями вниз ($a = -3 < 0$). Такая парабола принимает неположительные значения на промежутках вне своих корней, включая сами корни. Следовательно, $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$ являются корнями уравнения $-3x^2 + px + q = 0$.

По обобщенной теореме Виета ($a=-3, b=p, c=q$):

$x_1 + x_2 = -p/a \implies -3 + 4 = -p/(-3) \implies 1 = p/3 \implies p = 3$

$x_1 \cdot x_2 = q/a \implies (-3) \cdot 4 = q/(-3) \implies -12 = q/(-3) \implies q = 36$

Ответ: $p = 3, q = 36$.

4) Дана функция $y = 5x^2 + px + q$. По условию, функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) только при $x \in (-\infty; -4] \cup [6; +\infty)$.

Графиком является парабола с ветвями вверх ($a = 5 > 0$). Такая парабола принимает неотрицательные значения на промежутках вне своих корней, включая сами корни. Следовательно, $x_1 = -4$ и $x_2 = 6$ являются корнями уравнения $5x^2 + px + q = 0$.

По обобщенной теореме Виета ($a=5, b=p, c=q$):

$x_1 + x_2 = -p/a \implies -4 + 6 = -p/5 \implies 2 = -p/5 \implies p = -10$

$x_1 \cdot x_2 = q/a \implies (-4) \cdot 6 = q/5 \implies -24 = q/5 \implies q = -120$

Ответ: $p = -10, q = -120$.