Номер 18.15, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.15. Постройте график функции $y = 4x \cdot |x| + x^2 - 15x$ и найдите:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

2) промежутки знакопостоянства функции.

Для построения графика функции $y = 4x \cdot |x| + x^2 - 15x$ раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = 4x(x) + x^2 - 15x = 4x^2 + x^2 - 15x = 5x^2 - 15x$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 5, что больше 0).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10} = 1.5$.

$y_v = 5(1.5)^2 - 15(1.5) = 5(2.25) - 22.5 = 11.25 - 22.5 = -11.25$.

Координаты вершины: $(1.5, -11.25)$.

Найдем точки пересечения этой части графика с осью Ox (при $y=0$):

$5x^2 - 15x = 0$

$5x(x - 3) = 0$

$x = 0$ или $x = 3$. Оба значения удовлетворяют условию $x \ge 0$.

2. При $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$y = 4x(-x) + x^2 - 15x = -4x^2 + x^2 - 15x = -3x^2 - 15x$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -3, что меньше 0).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-15}{-6} = -2.5$.

$y_v = -3(-2.5)^2 - 15(-2.5) = -3(6.25) + 37.5 = -18.75 + 37.5 = 18.75$.

Координаты вершины: $(-2.5, 18.75)$.

Найдем точки пересечения этой части графика с осью Ox (при $y=0$):

$-3x^2 - 15x = 0$

$-3x(x + 5) = 0$

$x = 0$ или $x = -5$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x = -5$. Точка $x=0$ является граничной, и в ней значение функции равно 0, что совпадает со значением для первой части.

Таким образом, график функции состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(0,0)$.

График функции $y = 4x \cdot |x| + x^2 - 15x$:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью ординат (осью Oy):

Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y = 4(0) \cdot |0| + 0^2 - 15(0) = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):

Для этого нужно решить уравнение $y=0$:

$4x \cdot |x| + x^2 - 15x = 0$.

Как мы уже выяснили при анализе функции:

• При $x \ge 0$, уравнение $5x^2 - 15x = 0$ имеет корни $x=0$ и $x=3$. Это дает нам точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.
• При $x < 0$, уравнение $-3x^2 - 15x = 0$ имеет корень $x=-5$. Это дает нам точку $(-5, 0)$.

Таким образом, график функции пересекает оси координат в трех точках.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(-5, 0)$, $(0, 0)$, $(3, 0)$.

2) промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Нули функции ($x=-5, x=0, x=3$) разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак функции в каждом из них.

• Интервал $(-\infty, -5)$: Возьмем $x=-6$ (используем формулу $y = -3x^2 - 15x$). $y(-6) = -3(-6)^2 - 15(-6) = -108 + 90 = -18 < 0$. Функция отрицательна.
• Интервал $(-5, 0)$: Возьмем $x=-1$ (используем формулу $y = -3x^2 - 15x$). $y(-1) = -3(-1)^2 - 15(-1) = -3 + 15 = 12 > 0$. Функция положительна.
• Интервал $(0, 3)$: Возьмем $x=1$ (используем формулу $y = 5x^2 - 15x$). $y(1) = 5(1)^2 - 15(1) = 5 - 15 = -10 < 0$. Функция отрицательна.
• Интервал $(3, +\infty)$: Возьмем $x=4$ (используем формулу $y = 5x^2 - 15x$). $y(4) = 5(4)^2 - 15(4) = 80 - 60 = 20 > 0$. Функция положительна.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-5, 0) \cup (3, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (0, 3)$.