Страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.9. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 0,5x^2 - 2,5$;

2) $f(x) = x^2 - 7$;

3) $f(x) = 2 - 4x^2$.

Используя график функции $y = f(x)$, на оси $Ox$ укажите числовой промежуток, на котором выполняется неравенство $f(x) \ge 2$.

1) f(x) = 0,5x² - 2,5

Графиком функции $y = 0,5x^2 - 2,5$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 0,5 > 0$), ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$
$y_в = f(0) = 0,5 \cdot 0^2 - 2,5 = -2,5$
Вершина параболы находится в точке $(0; -2,5)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = \pm 2$, $y = 0,5 \cdot (\pm 2)^2 - 2,5 = 0,5 \cdot 4 - 2,5 = 2 - 2,5 = -0,5$. Точки: $(2; -0,5)$ и $(-2; -0,5)$.
При $x = \pm 3$, $y = 0,5 \cdot (\pm 3)^2 - 2,5 = 0,5 \cdot 9 - 2,5 = 4,5 - 2,5 = 2$. Точки: $(3; 2)$ и $(-3; 2)$.
Построим график функции и прямую $y = 2$.

Для решения неравенства $f(x) \geq 2$ необходимо найти значения $x$, при которых график функции $y = 0,5x^2 - 2,5$ лежит не ниже прямой $y = 2$.
Из графика видно, что это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до точки пересечения с абсциссой $x=-3$ и от точки пересечения с абсциссой $x=3$ до $+\infty$.
Решим неравенство аналитически:
$0,5x^2 - 2,5 \geq 2$
$0,5x^2 \geq 4,5$
$x^2 \geq 9$
$|x| \geq 3$
Это неравенство выполняется при $x \leq -3$ или $x \geq 3$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

2) f(x) = x² - 7

Графиком функции $y = x^2 - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$). Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 7 единиц вниз.
Координаты вершины параболы:
$x_в = 0$
$y_в = 0^2 - 7 = -7$
Вершина находится в точке $(0; -7)$.
Найдем точки пересечения с прямой $y=2$ для построения графика и решения неравенства:
$x^2 - 7 = 2 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. Точки пересечения: $(-3; 2)$ и $(3; 2)$.
Построим график функции и прямую $y = 2$.

Используя график, определим, при каких $x$ выполняется неравенство $f(x) \geq 2$. Это та часть графика параболы, которая расположена не ниже красной пунктирной линии $y=2$.
Это соответствует промежуткам $x \in (-\infty; -3]$ и $x \in [3; \infty)$.
Аналитическое решение:
$x^2 - 7 \geq 2$
$x^2 \geq 9$
$|x| \geq 3$
Следовательно, $x \leq -3$ или $x \geq 3$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

3) f(x) = 2 - 4x²

Графиком функции $y = 2 - 4x^2$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -4 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-4)} = 0$
$y_в = 2 - 4 \cdot 0^2 = 2$
Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = \pm 0,5$, $y = 2 - 4 \cdot (0,5)^2 = 2 - 4 \cdot 0,25 = 2 - 1 = 1$. Точки: $(0,5; 1)$ и $(-0,5; 1)$.
При $x = \pm 1$, $y = 2 - 4 \cdot 1^2 = 2 - 4 = -2$. Точки: $(1; -2)$ и $(-1; -2)$.
Построим график функции и прямую $y = 2$.

Для решения неравенства $f(x) \geq 2$ нужно найти значения $x$, при которых парабола $y = 2 - 4x^2$ находится не ниже прямой $y=2$.
Из графика видно, что вершина параболы $(0; 2)$ является её наивысшей точкой и лежит на прямой $y=2$. Все остальные точки параболы находятся ниже этой прямой.
Следовательно, неравенство $f(x) \geq 2$ выполняется только в одной точке, где $f(x)=2$. Это происходит в вершине параболы, то есть при $x=0$.
Решим аналитически:
$2 - 4x^2 \geq 2$
$-4x^2 \geq 0$
Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:
$x^2 \leq 0$
Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \geq 0$), единственным решением этого неравенства является $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Ответ: $\{0\}$.

18.10. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 0,5x^2 - 2,5$;2) $f(x) = 8 - 3x^2$;3) $f(x) = 13 - 4x^2$.

Используя график функции $y = f(x)$, на оси $Ox$ укажите промежуток, на котором выполняется неравенство $f(x) \le 5$.

1) f(x) = 0,5x² - 2,5

Графиком функции $y = 0,5x^2 - 2,5$ является парабола. Это стандартная парабола $y=x^2$, сжатая к оси Ox в 2 раза (коэффициент 0,5) и смещенная на 2,5 единицы вниз по оси Oy.

Основные характеристики:

• Коэффициент при $x^2$ равен 0,5, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Вершина параболы находится в точке с координатами $x_0 = -b/(2a) = 0$; $y_0 = 0,5 \cdot 0^2 - 2,5 = -2,5$. Вершина: $(0; -2,5)$.
• Ось симметрии параболы — ось Oy ($x=0$).
• Найдем несколько точек для построения графика:
  при $x = \pm 1$, $y = 0,5 \cdot 1^2 - 2,5 = -2$. Точки: $(-1; -2)$ и $(1; -2)$.
  при $x = \pm 2$, $y = 0,5 \cdot 2^2 - 2,5 = 2 - 2,5 = -0,5$. Точки: $(-2; -0,5)$ и $(2; -0,5)$.
  при $x = \pm 3$, $y = 0,5 \cdot 3^2 - 2,5 = 4,5 - 2,5 = 2$. Точки: $(-3; 2)$ и $(3; 2)$.
  при $x = \pm 4$, $y = 0,5 \cdot 4^2 - 2,5 = 8 - 2,5 = 5,5$. Точки: $(-4; 5,5)$ и $(4; 5,5)$.

Построим график функции.

Теперь решим неравенство $f(x) \le 5$. На графике это означает, что мы ищем те значения $x$, при которых парабола находится ниже или на уровне горизонтальной прямой $y=5$.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с прямой $y=5$:

$0,5x^2 - 2,5 = 5$

$0,5x^2 = 7,5$

$x^2 = 15$

$x = \pm\sqrt{15}$

Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции меньше или равны 5 между точками пересечения. На оси Ox этому соответствует промежуток от $-\sqrt{15}$ до $\sqrt{15}$ включительно. Этот промежуток выделен на оси Ox на графике.

Ответ: $x \in [-\sqrt{15}; \sqrt{15}]$.

2) f(x) = 8 - 3x²

Графиком функции $y = 8 - 3x^2$ является парабола. Это стандартная парабола $y=x^2$, перевернутая, растянутая вдоль оси Oy в 3 раза и смещенная на 8 единиц вверх по оси Oy.

Основные характеристики:

• Коэффициент при $x^2$ равен -3, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы находится в точке с координатами $x_0 = 0$; $y_0 = 8 - 3 \cdot 0^2 = 8$. Вершина: $(0; 8)$.
• Ось симметрии параболы — ось Oy ($x=0$).
• Найдем несколько точек для построения графика:
  при $x = \pm 1$, $y = 8 - 3 \cdot 1^2 = 5$. Точки: $(-1; 5)$ и $(1; 5)$.
  при $x = \pm 2$, $y = 8 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$. Точки: $(-2; -4)$ и $(2; -4)$.

Построим график функции.

Теперь решим неравенство $f(x) \le 5$. На графике это означает, что мы ищем те значения $x$, при которых парабола находится ниже или на уровне горизонтальной прямой $y=5$.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с прямой $y=5$:

$8 - 3x^2 = 5$

$3 = 3x^2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции меньше или равны 5 на участках левее точки $x=-1$ и правее точки $x=1$, включая сами точки. На оси Ox этому соответствуют два промежутка: от $-\infty$ до $-1$ и от $1$ до $+\infty$. Эти промежутки выделены на оси Ox на графике.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

3) f(x) = 13 - 4x²

Графиком функции $y = 13 - 4x^2$ является парабола. Это стандартная парабола $y=x^2$, перевернутая, растянутая вдоль оси Oy в 4 раза и смещенная на 13 единиц вверх по оси Oy.

Основные характеристики:

• Коэффициент при $x^2$ равен -4, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы находится в точке с координатами $x_0 = 0$; $y_0 = 13 - 4 \cdot 0^2 = 13$. Вершина: $(0; 13)$.
• Ось симметрии параболы — ось Oy ($x=0$).
• Найдем несколько точек для построения графика:
  при $x = \pm 1$, $y = 13 - 4 \cdot 1^2 = 9$. Точки: $(-1; 9)$ и $(1; 9)$.
  при $x = \pm 2$, $y = 13 - 4 \cdot 2^2 = 13 - 16 = -3$. Точки: $(-2; -3)$ и $(2; -3)$.

Построим график функции.

Теперь решим неравенство $f(x) \le 5$. На графике это означает, что мы ищем те значения $x$, при которых парабола находится ниже или на уровне горизонтальной прямой $y=5$.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с прямой $y=5$:

$13 - 4x^2 = 5$

$8 = 4x^2$

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции меньше или равны 5 на участках левее точки $x=-\sqrt{2}$ и правее точки $x=\sqrt{2}$, включая сами точки. На оси Ox этому соответствуют два промежутка: от $-\infty$ до $-\sqrt{2}$ и от $\sqrt{2}$ до $+\infty$. Эти промежутки выделены на оси Ox на графике.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \infty)$.

18.11. Постройте график функции $f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 12$;

2) $f(x) = x^2 - 4x + 8$;

3) $f(x) = 4 - 2.6x^2$.

Используя график функции $y = f(x)$, на оси $Ox$ укажите числовой промежуток, на котором выполняется неравенство $f(x) > 4$.

1) Решение для функции $f(x) = x^2 - 12$.

Сначала построим график функции. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину параболы. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. Координата $y$ вершины: $y_v = f(0) = 0^2 - 12 = -12$. Итак, вершина параболы находится в точке $(0, -12)$. Ось симметрии — ось $Oy$. Для построения найдем еще несколько точек. При $x = \pm 2$, $y = (\pm 2)^2 - 12 = 4 - 12 = -8$. При $x = \pm 4$, $y = (\pm 4)^2 - 12 = 16 - 12 = 4$.

Теперь, используя график, укажем промежуток, на котором выполняется неравенство $f(x) > 4$. На графике это соответствует той части параболы, которая лежит выше прямой $y=4$. Найдем точки пересечения графика $y = x^2 - 12$ с прямой $y=4$. $x^2 - 12 = 4$ $x^2 = 16$ $x_1 = -4$, $x_2 = 4$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции $f(x)$ будут больше 4 при значениях $x$, находящихся левее $x=-4$ и правее $x=4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

2) Решение для функции $f(x) = x^2 - 4x + 8$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), значит ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы. $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$. Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Ось симметрии — прямая $x=2$. Найдем несколько точек: При $x = 0$, $y = 8$. При $x = 1$, $y = 1^2 - 4(1) + 8 = 5$. Симметричные точки: $(4, 8)$ и $(3, 5)$.

Найдем промежуток, где $f(x) > 4$. Это область, где график параболы расположен выше прямой $y=4$. Найдем точки пересечения, решив уравнение $f(x)=4$. $x^2 - 4x + 8 = 4$ $x^2 - 4x + 4 = 0$ $(x-2)^2 = 0$ Решение одно: $x=2$. Это означает, что прямая $y=4$ касается параболы в ее вершине $(2, 4)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает значения, строго большие 4, для всех значений $x$, кроме $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3) Решение для функции $f(x) = 4 - 2,6x^2$.

Перепишем функцию в виде $f(x) = -2,6x^2 + 4$. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2,6 (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2,6)} = 0$. $y_v = f(0) = 4 - 2,6 \cdot 0^2 = 4$. Вершина находится в точке $(0, 4)$, которая является точкой максимума функции. Ось симметрии — ось $Oy$. Найдем несколько точек: При $x = \pm 1$, $y = 4 - 2,6(1)^2 = 1,4$. При $x = \pm 2$, $y = 4 - 2,6(2)^2 = 4 - 10,4 = -6,4$.

Найдем промежуток, где $f(x) > 4$. $4 - 2,6x^2 > 4$ $-2,6x^2 > 0$ Разделим обе части на -2,6 и сменим знак неравенства: $x^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений. На графике видно, что максимальное значение функции равно 4 (в вершине), и ни при каких $x$ значение функции не превышает 4.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

18.12. При каких значениях параметра $p$ графики функций $y = -3x^2 + 6x - 8$ и $y = x^2 - 4x + p$ имеют только одну общую точку?

Для того чтобы графики функций имели общую точку, значения y при одинаковом значении x должны быть равны. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений данных функций.

$y = -3x^2 + 6x - 8$

$y = x^2 - 4x + p$

Приравниваем выражения:

$-3x^2 + 6x - 8 = x^2 - 4x + p$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$-3x^2 - x^2 + 6x + 4x - 8 - p = 0$

$-4x^2 + 10x - (8 + p) = 0$

Для удобства умножим все уравнение на -1:

$4x^2 - 10x + (8 + p) = 0$

Графики функций будут иметь только одну общую точку в том случае, если это квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант ($D$) уравнения равен нулю.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты:

$a = 4$

$b = -10$

$c = 8 + p$

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (8 + p)$

$D = 100 - 16(8 + p)$

$D = 100 - 128 - 16p$

$D = -28 - 16p$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение p:

$-28 - 16p = 0$

$-16p = 28$

$p = -\frac{28}{16}$

Сокращаем дробь на 4:

$p = -\frac{7}{4}$

Или в виде десятичной дроби:

$p = -1.75$

Ответ: $p = -1.75$

18.13. Мяч брошен вертикально вверх. Известно, что зависимость между высотой подъема мяча и временем задается формулой $h(t) = -6t^2 + 24t$ (м). На какую наибольшую высоту поднимается мяч?

Зависимость высоты подъема мяча $h$ от времени $t$ задана квадратичной функцией $h(t) = -6t^2 + 24t$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($a = -6 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Координата $t_0$ вершины параболы, которая соответствует времени достижения максимальной высоты, вычисляется по формуле:

$t_0 = -\frac{b}{2a}$

В данном случае, коэффициенты уравнения $a = -6$ и $b = 24$. Подставим эти значения в формулу:

$t_0 = -\frac{24}{2 \cdot (-6)} = -\frac{24}{-12} = 2$ (c).

Таким образом, мяч достигнет наибольшей высоты через 2 секунды после броска.

Чтобы найти эту наибольшую высоту $h_{max}$, нужно подставить найденное значение времени $t_0 = 2$ в исходное уравнение для высоты:

$h_{max} = h(2) = -6(2)^2 + 24(2) = -6 \cdot 4 + 48 = -24 + 48 = 24$ (м).

Следовательно, наибольшая высота, на которую поднимется мяч, равна 24 метрам.

Ответ: 24 м.

18.14. Решите неравенство:

1) $|x^2 - 4| \ge 2;

2) $|x^2 - 5| \le 2;

3) $|x^2 + 5| < 4;

4) $|x^2 + 2| \ge 6.

1) Решим неравенство $|x^2 - 4| \ge 2$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

В нашем случае это означает, что мы должны решить совокупность:

$x^2 - 4 \ge 2$ или $x^2 - 4 \le -2$.

1. Решим первое неравенство:

$x^2 - 4 \ge 2$

$x^2 \ge 6$

$x^2 - 6 \ge 0$

Корнями уравнения $x^2 - 6 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$. Графиком функции $y=x^2-6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -\sqrt{6}$ или $x \ge \sqrt{6}$.

Решение: $x \in (-\infty; -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$x^2 - 4 \le -2$

$x^2 \le 2$

$x^2 - 2 \le 0$

Корнями уравнения $x^2 - 2 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$. Графиком функции $y=x^2-2$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Решение: $x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем окончательный результат.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{6}] \cup [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \cup [\sqrt{6}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x^2 - 5| \le 2$.

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

В нашем случае это означает:

$-2 \le x^2 - 5 \le 2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 5 \le 2 \\ x^2 - 5 \ge -2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 5 \le 2$

$x^2 \le 7$

$x^2 - 7 \le 0$

Решением является промежуток $x \in [-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.

2. Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 5 \ge -2$

$x^2 \ge 3$

$x^2 - 3 \ge 0$

Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, так как они должны выполняться одновременно. Для этого можно нанести решения на числовую ось.

Пересечением множеств $[-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$ и $(-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$ является объединение промежутков $[-\sqrt{7}; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; \sqrt{7}]$.

Ответ: $[-\sqrt{7}; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; \sqrt{7}]$.

3) Решим неравенство $|x^2 + 5| < 4$.

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2 + 5$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$.

Таким образом, выражение $x^2 + 5$ всегда положительно, и его модуль равен самому выражению: $|x^2 + 5| = x^2 + 5$.

Исходное неравенство можно переписать без модуля:

$x^2 + 5 < 4$

$x^2 < 4 - 5$

$x^2 < -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть меньше нуля (он всегда неотрицателен: $x^2 \ge 0$). Следовательно, неравенство $x^2 < -1$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет ($x \in \emptyset$).

4) Решим неравенство $|x^2 + 2| \ge 6$.

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2 + 2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$.

Выражение $x^2 + 2$ всегда положительно, поэтому его модуль равен самому выражению: $|x^2 + 2| = x^2 + 2$.

Перепишем неравенство без модуля:

$x^2 + 2 \ge 6$

$x^2 \ge 4$

$x^2 - 4 \ge 0$

Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.

Корнями уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением является $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

18.15. Постройте график функции $y = 4x \cdot |x| + x^2 - 15x$ и найдите:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

2) промежутки знакопостоянства функции.

Для построения графика функции $y = 4x \cdot |x| + x^2 - 15x$ раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = 4x(x) + x^2 - 15x = 4x^2 + x^2 - 15x = 5x^2 - 15x$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 5, что больше 0).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10} = 1.5$.

$y_v = 5(1.5)^2 - 15(1.5) = 5(2.25) - 22.5 = 11.25 - 22.5 = -11.25$.

Координаты вершины: $(1.5, -11.25)$.

Найдем точки пересечения этой части графика с осью Ox (при $y=0$):

$5x^2 - 15x = 0$

$5x(x - 3) = 0$

$x = 0$ или $x = 3$. Оба значения удовлетворяют условию $x \ge 0$.

2. При $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$y = 4x(-x) + x^2 - 15x = -4x^2 + x^2 - 15x = -3x^2 - 15x$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -3, что меньше 0).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-15}{-6} = -2.5$.

$y_v = -3(-2.5)^2 - 15(-2.5) = -3(6.25) + 37.5 = -18.75 + 37.5 = 18.75$.

Координаты вершины: $(-2.5, 18.75)$.

Найдем точки пересечения этой части графика с осью Ox (при $y=0$):

$-3x^2 - 15x = 0$

$-3x(x + 5) = 0$

$x = 0$ или $x = -5$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x = -5$. Точка $x=0$ является граничной, и в ней значение функции равно 0, что совпадает со значением для первой части.

Таким образом, график функции состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(0,0)$.

График функции $y = 4x \cdot |x| + x^2 - 15x$:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью ординат (осью Oy):

Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y = 4(0) \cdot |0| + 0^2 - 15(0) = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):

Для этого нужно решить уравнение $y=0$:

$4x \cdot |x| + x^2 - 15x = 0$.

Как мы уже выяснили при анализе функции:

• При $x \ge 0$, уравнение $5x^2 - 15x = 0$ имеет корни $x=0$ и $x=3$. Это дает нам точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.
• При $x < 0$, уравнение $-3x^2 - 15x = 0$ имеет корень $x=-5$. Это дает нам точку $(-5, 0)$.

Таким образом, график функции пересекает оси координат в трех точках.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(-5, 0)$, $(0, 0)$, $(3, 0)$.

2) промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Нули функции ($x=-5, x=0, x=3$) разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак функции в каждом из них.

• Интервал $(-\infty, -5)$: Возьмем $x=-6$ (используем формулу $y = -3x^2 - 15x$). $y(-6) = -3(-6)^2 - 15(-6) = -108 + 90 = -18 < 0$. Функция отрицательна.
• Интервал $(-5, 0)$: Возьмем $x=-1$ (используем формулу $y = -3x^2 - 15x$). $y(-1) = -3(-1)^2 - 15(-1) = -3 + 15 = 12 > 0$. Функция положительна.
• Интервал $(0, 3)$: Возьмем $x=1$ (используем формулу $y = 5x^2 - 15x$). $y(1) = 5(1)^2 - 15(1) = 5 - 15 = -10 < 0$. Функция отрицательна.
• Интервал $(3, +\infty)$: Возьмем $x=4$ (используем формулу $y = 5x^2 - 15x$). $y(4) = 5(4)^2 - 15(4) = 80 - 60 = 20 > 0$. Функция положительна.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-5, 0) \cup (3, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (0, 3)$.

Для членов экспедиции, находящихся на льдине, надо было сбросить с вертолета тюки с оборудованием и питанием. Из-за плохих метеоусловий вертолет не смог приблизиться к льдине ближе, чем на 10 м. Если оборудование упадет на льдину со скоростью большей, чем 20 м/с, то оно может повредиться. Практика показывает, что груз, сбрасываемый с вертолета, имеет начальную скорость 1 м/с. На какой высоте должен находиться вертолет, чтобы сбрасываемый с него груз не повредился? Скорость свободного падения тела за время $t$ с начальной скоростью $v_0$ вычисляется по формуле $y = v_0 + gt$, высота свободного падения вычисляется по формуле $h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$, где $g = 9,8 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Для решения этой задачи необходимо определить диапазон высот $h$, который удовлетворяет двум ключевым условиям, указанным в тексте.

1. Условие сохранности оборудования: скорость груза в момент приземления $y$ не должна превышать 20 м/с. То есть, $y \le 20$ м/с.

2. Условие безопасности полета: вертолет не может находиться ближе 10 м к льдине, значит, высота сброса $h$ должна быть не менее 10 м. То есть, $h \ge 10$ м.

Найдем максимальную высоту сброса, удовлетворяющую первому условию.

Исходные данные:
• Начальная скорость груза: $v_0 = 1$ м/с.
• Максимально допустимая конечная скорость: $y_{max} = 20$ м/с.
• Ускорение свободного падения: $g = 9,8$ м/с².

В задаче даны формулы для скорости и высоты свободного падения:
$y = v_0 + gt$
$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Для нахождения прямой зависимости между высотой и скоростью, можно исключить время $t$ из этих уравнений. Из первой формулы выразим время: $t = \frac{y - v_0}{g}$. Подставив это выражение во вторую формулу, получим универсальную формулу кинематики, не зависящую от времени:
$y^2 = v_0^2 + 2gh$

Из этой формулы выразим высоту $h$:
$h = \frac{y^2 - v_0^2}{2g}$

Теперь рассчитаем максимальную высоту $h_{max}$, с которой можно сбросить груз, чтобы его скорость при приземлении не превысила $y_{max} = 20$ м/с.
$h_{max} = \frac{20^2 - 1^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{400 - 1}{19.6} = \frac{399}{19.6} \approx 20.357$ м.

Таким образом, чтобы груз не повредился, высота сброса не должна быть больше этого значения: $h \le \frac{399}{19.6}$ м.

Определим итоговый диапазон высот.

Совместим оба условия, которые мы определили:
1. $h \le \frac{399}{19.6}$ (примерно $20.36$ м)
2. $h \ge 10$ м

Объединяя эти два неравенства, мы получаем искомый диапазон высот, на котором должен находиться вертолет:
$10 \le h \le \frac{399}{19.6}$

Ответ: Чтобы сбрасываемый груз не повредился и были соблюдены условия безопасности, вертолет должен находиться на высоте от 10 м до примерно 20,36 м включительно.