Страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему при решении квадратных неравенств можно воспользоваться методом интервалов?

При решении квадратных неравенств можно воспользоваться методом интервалов, поскольку этот метод основан на ключевом свойстве квадратичной функции — её непрерывности. Рассмотрим этот принцип более подробно.

Связь квадратного неравенства с функцией

Решение квадратного неравенства, такого как $ax^2 + bx + c > 0$ (или с другим знаком: $<$, $\ge$, $\le$), по сути, является задачей нахождения интервалов на оси $x$, для которых график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ находится выше (или ниже) оси абсцисс.

Непрерывность и смена знака

Квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ является непрерывной на всей числовой прямой. Это значит, что её график (парабола) представляет собой сплошную линию без разрывов. Важнейшее следствие из этого свойства: функция может изменить свой знак (то есть перейти от положительных значений к отрицательным или наоборот) только в той точке, где она равна нулю.

Роль корней уравнения

Точки, в которых значение функции равно нулю ($y=0$), являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Графически — это точки пересечения параболы с осью Ox. Именно эти точки (корни), если они существуют, и являются "граничными" точками, которые разбивают числовую прямую на интервалы.

Принцип постоянства знака на интервалах

Так как квадратичная функция меняет знак только в своих корнях, на каждом из интервалов, на которые корни разбивают числовую прямую, функция сохраняет свой знак. Она будет либо всегда положительной, либо всегда отрицательной на всём протяжении этого интервала.

Например, если уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_1 < x_2$), то они разделят всю числовую ось на три интервала: $(-\infty; x_1)$, $(x_1; x_2)$ и $(x_2; \infty)$. На каждом из этих трёх интервалов знак выражения $ax^2 + bx + c$ будет постоянным. Это позволяет, определив знак в одной любой точке интервала, сделать вывод о знаке на всём интервале.

Это наглядно показано на схеме (для случая, когда ветви параболы направлены вверх, т.е. $a > 0$):

Процедура нахождения корней, нанесения их на числовую прямую и определения знаков на получившихся интервалах и составляет суть метода интервалов применительно к квадратным неравенствам.

Ответ: Метод интервалов можно использовать при решении квадратных неравенств, потому что левая часть такого неравенства, $f(x) = ax^2 + bx + c$, является непрерывной функцией. Согласно свойству непрерывных функций, функция может изменить свой знак (с положительного на отрицательный или наоборот) только в тех точках, где её значение равно нулю. Для квадратичной функции это её корни. Корни разбивают числовую ось на интервалы, в каждом из которых знак функции постоянен. Это позволяет определить знак функции на всём интервале, проверив его лишь в одной точке, что и составляет основу метода интервалов.

19.1. Решите неравенство, используя метод интервалов:

1) $(x - 4)(x + 5) \le 0$

2) $(x + 2,4)(x - 1,5) \ge 0$

3) $(x - 4)(x + 5) > 0$

4) $(x - 6)(x + 1) < 0$

5) $(x + 2,8)(x - 1) \ge 0$

6) $(x + 4)(x - 5) < 0$

7) $(x + 2,4)(x + 7,5) \le 0$

8) $(x + 7)(x - 3,5) \ge 0$

9) $(3x + 4)(2x - 5) \ge 0$

10) $(7 - 3x)(2x + 1) \ge 0$

11) $(3x - 4)(2x + 7) > 0$

12) $(8 - 7x)(2x - 7) \ge 0$

13) $-2(7 - 5x)(2x + 3) \ge 0$

14) $(2\frac{2}{3} - 3x)(2x + 1) \ge 0$

15) $(7\frac{1}{3} - 3\frac{2}{3}x)(2x + 1\frac{3}{7}) \ge 0$

1) $(x - 4)(x + 5) \le 0$

1. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 5) = 0$.
$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$
$x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

2. Отметим корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными.

3. Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; -5]$, $[-5; 4]$, $[4; +\infty)$.
- При $x = -6$: $(-6 - 4)(-6 + 5) = (-10)(-1) = 10 > 0$. Знак "+".
- При $x = 0$: $(0 - 4)(0 + 5) = (-4)(5) = -20 < 0$. Знак "-".
- При $x = 5$: $(5 - 4)(5 + 5) = (1)(10) = 10 > 0$. Знак "+".

4. Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это $[-5; 4]$.

Ответ: $x \in [-5; 4]$.

2) $(x + 2,4)(x - 1,5) \ge 0$

1. Корни уравнения $(x + 2,4)(x - 1,5) = 0$:
$x_1 = -2,4$, $x_2 = 1,5$.

2. Отметим закрашенные точки $-2,4$ и $1,5$ на числовой оси.

3. Определим знаки на интервалах. Так как перед $x$ в обеих скобках стоят положительные коэффициенты, крайний правый интервал будет иметь знак "+", а остальные знаки будут чередоваться.

4. Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; -2,4]$ и $[1,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,4] \cup [1,5; +\infty)$.

3) $(x - 4)(x + 5) > 0$

1. Корни уравнения $(x - 4)(x + 5) = 0$: $x_1 = 4$, $x_2 = -5$.

2. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки на оси будут выколотыми (пустыми).

3. Знаки на интервалах такие же, как в задаче 1.

4. Нас интересуют промежутки со знаком "+". Это $(-\infty; -5)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty)$.

4) $(x - 6)(x + 1) < 0$

1. Корни уравнения $(x - 6)(x + 1) = 0$: $x_1 = 6$, $x_2 = -1$.

2. Неравенство строгое ($<$), точки выколотые.

3. Определим знаки на интервалах.

4. Нас интересует промежуток со знаком "-". Это $(-1; 6)$.

Ответ: $x \in (-1; 6)$.

5) $(x + 2,8)(x - 1) \ge 0$

1. Корни: $x_1 = -2,8$, $x_2 = 1$.

2. Неравенство нестрогое ($\ge$), точки закрашенные.

3. Определим знаки на интервалах.

4. Нас интересуют промежутки со знаком "+". Это $(-\infty; -2,8]$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,8] \cup [1; +\infty)$.

6) $(x + 4)(x - 5) < 0$

1. Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 5$.

2. Неравенство строгое ($<$), точки выколотые.

3. Определим знаки на интервалах.

4. Нас интересует промежуток со знаком "-". Это $(-4; 5)$.

Ответ: $x \in (-4; 5)$.

7) $(x + 2,4)(x + 7,5) \le 0$

1. Корни: $x_1 = -2,4$, $x_2 = -7,5$.

2. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные.

3. Определим знаки на интервалах.

4. Нас интересует промежуток со знаком "-". Это $[-7,5; -2,4]$.

Ответ: $x \in [-7,5; -2,4]$.

8) $(x + 7)(x - 3,5) \ge 0$

1. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 3,5$.

2. Неравенство нестрогое ($\ge$), точки закрашенные.

3. Определим знаки на интервалах.

4. Нас интересуют промежутки со знаком "+". Это $(-\infty; -7]$ и $[3,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [3,5; +\infty)$.

9) $(3x + 4)(2x - 5) \ge 0$

1. Корни: $3x+4=0 \implies x_1 = -4/3$; $2x-5=0 \implies x_2 = 5/2 = 2,5$.

2. Неравенство нестрогое ($\ge$), точки закрашенные.

3. Коэффициенты при $x$ положительны ($3 > 0, 2 > 0$), поэтому знаки на интервалах: "+, -, +".

4. Нас интересуют промежутки со знаком "+". Это $(-\infty; -4/3]$ и $[5/2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4/3] \cup [2,5; +\infty)$.

10) $(7 - 3x)(2x + 1) \ge 0$

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в первой скобке был положительным:
$-(3x - 7)(2x + 1) \ge 0$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$(3x - 7)(2x + 1) \le 0$

2. Корни: $3x-7=0 \implies x_1 = 7/3$; $2x+1=0 \implies x_2 = -1/2$.

3. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные. Знаки на интервалах для $(3x-7)(2x+1)$ будут "+, -, +".

4. Для неравенства $(3x - 7)(2x + 1) \le 0$ нас интересует промежуток со знаком "-". Это $[-1/2; 7/3]$.

Ответ: $x \in [-0,5; 7/3]$.

11) $(3x - 4)(2x + 7) > 0$

1. Корни: $3x-4=0 \implies x_1 = 4/3$; $2x+7=0 \implies x_2 = -7/2 = -3,5$.

2. Неравенство строгое ($>$), точки выколотые.

3. Знаки на интервалах: "+, -, +".

4. Нас интересуют промежутки со знаком "+". Это $(-\infty; -7/2) \cup (4/3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3,5) \cup (4/3; +\infty)$.

12) $(8 - 7x)(2x - 7) \ge 0$

1. Преобразуем: $-(7x - 8)(2x - 7) \ge 0 \implies (7x - 8)(2x - 7) \le 0$.

2. Корни: $7x-8=0 \implies x_1 = 8/7$; $2x-7=0 \implies x_2 = 7/2 = 3,5$.

3. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные. Знаки для $(7x - 8)(2x - 7)$: "+, -, +".

4. Нас интересует промежуток со знаком "-". Это $[8/7; 7/2]$.

Ответ: $x \in [8/7; 3,5]$.

13) $-2(7 - 5x)(2x + 3) \ge 0$

1. Разделим на -2, меняя знак: $(7 - 5x)(2x + 3) \le 0$.
Вынесем минус из первой скобки: $-(5x - 7)(2x + 3) \le 0$.
Умножим на -1, меняя знак: $(5x - 7)(2x + 3) \ge 0$.

2. Корни: $5x-7=0 \implies x_1 = 7/5 = 1,4$; $2x+3=0 \implies x_2 = -3/2 = -1,5$.

3. Неравенство нестрогое ($\ge$), точки закрашенные. Знаки: "+, -, +".

4. Нас интересуют промежутки со знаком "+". Это $(-\infty; -1,5]$ и $[1,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,5] \cup [1,4; +\infty)$.

14) $(2\frac{2}{3} - 3x)(2x + 1) \ge 0$

1. Переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$. Неравенство примет вид: $(\frac{8}{3} - 3x)(2x + 1) \ge 0$.

2. Преобразуем: $- (3x - \frac{8}{3})(2x + 1) \ge 0 \implies (3x - \frac{8}{3})(2x + 1) \le 0$.

3. Корни: $3x - \frac{8}{3} = 0 \implies x_1 = \frac{8}{9}$; $2x+1=0 \implies x_2 = -1/2$.

4. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные. Знаки для $(3x - \frac{8}{3})(2x + 1)$: "+, -, +".

5. Нас интересует промежуток со знаком "-". Это $[-1/2; 8/9]$.

Ответ: $x \in [-1/2; 8/9]$.

15) $(7\frac{1}{3} - 3\frac{2}{3}x)(2x + 1\frac{3}{7}) \ge 0$

1. Переведем дроби: $7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$, $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$, $1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$.
Неравенство: $(\frac{22}{3} - \frac{11}{3}x)(2x + \frac{10}{7}) \ge 0$.

2. Вынесем общий множитель из первой скобки: $\frac{11}{3}(2 - x)(2x + \frac{10}{7}) \ge 0$.
Разделим на $\frac{11}{3}$: $(2 - x)(2x + \frac{10}{7}) \ge 0$.
Преобразуем: $-(x - 2)(2x + \frac{10}{7}) \ge 0 \implies (x - 2)(2x + \frac{10}{7}) \le 0$.

3. Корни: $x-2=0 \implies x_1 = 2$; $2x+\frac{10}{7}=0 \implies x_2 = -5/7$.

4. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные. Знаки для $(x - 2)(2x + \frac{10}{7})$: "+, -, +".

5. Нас интересует промежуток со знаком "-". Это $[-5/7; 2]$.

Ответ: $x \in [-5/7; 2]$.

19.2. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{(5-x)(2x-7)};$

2) $y = \sqrt{(5+3x)(2x-2,4)};$

3) $y = \sqrt{(4+x)(5-2x)};$

4) $y = \sqrt{-2(1-x)(2x+5)}.$

1)

Область определения функции $y = \sqrt{(5-x)(2x-7)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, мы должны решить неравенство:

$(5-x)(2x-7) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(5-x)(2x-7) = 0$.

$5-x=0 \implies x_1 = 5$

$2x-7=0 \implies 2x=7 \implies x_2 = 3,5$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $(5-x)(2x-7)$ в каждом из получившихся интервалов. Коэффициент при $x^2$ в выражении $(5-x)(2x-7) = -2x^2+17x-35$ отрицателен ($-2$), значит, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, выражение положительно между корнями.

Нам нужен промежуток, где выражение неотрицательно ($\ge 0$). Это промежуток $[3,5; 5]$.

Ответ: $x \in [3,5; 5]$.

2)

Область определения функции $y = \sqrt{(5+3x)(2x-2,4)}$ задается неравенством:

$(5+3x)(2x-2,4) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(5+3x)(2x-2,4) = 0$.

$5+3x=0 \implies 3x=-5 \implies x_1 = -5/3$

$2x-2,4=0 \implies 2x=2,4 \implies x_2 = 1,2$

Коэффициент при $x^2$ в выражении $(5+3x)(2x-2,4) = 6x^2+...$ положителен ($6$), значит, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, выражение неотрицательно на промежутках левее и правее корней.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на объединении промежутков $(-\infty; -5/3]$ и $[1,2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5/3] \cup [1,2; +\infty)$.

3)

Область определения функции $y = \sqrt{(4+x)(5-2x)}$ задается неравенством:

$(4+x)(5-2x) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(4+x)(5-2x) = 0$.

$4+x=0 \implies x_1 = -4$

$5-2x=0 \implies 2x=5 \implies x_2 = 2,5$

Коэффициент при $x^2$ в выражении $(4+x)(5-2x) = -2x^2+...$ отрицателен ($-2$), ветви параболы направлены вниз. Значит, выражение неотрицательно между корнями.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутке $[-4; 2,5]$.

Ответ: $x \in [-4; 2,5]$.

4)

Область определения функции $y = \sqrt{-2(1-x)(2x+5)}$ задается неравенством:

$-2(1-x)(2x+5) \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$(1-x)(2x+5) \le 0$

Найдем корни уравнения $(1-x)(2x+5) = 0$.

$1-x=0 \implies x_1 = 1$

$2x+5=0 \implies 2x=-5 \implies x_2 = -2,5$

Коэффициент при $x^2$ в выражении $(1-x)(2x+5) = -2x^2+...$ отрицателен ($-2$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, выражение неположительно ($\le 0$) на промежутках левее и правее корней.

Нам нужны промежутки, где выражение неположительно ($\le 0$). Это объединение промежутков $(-\infty; -2,5]$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,5] \cup [1; +\infty)$.