Страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.11. Решите методом интервалов неравенство:

1) $(2x - 4)(x - 6)(x - 8) \ge 0;$

2) $(x + 4)(x + 1)(x - 3) \le 0;$

3) $(2x + 5)(x - 2)(x - 6) \ge 0;$

4) $(x + 5)(x - 1)(x - 7) < 0;$

5) $(x + 6)(x - 1)(x - 3.6) > 0;$

6) $(2x + 1)(x - 1)(x - 2) \le 0;$

7) $(x - 4)^2 (x - 3)(x + 2) \ge 0;$

8) $(x + 6)(x + 1)^4 (x - 3) \ge 0;$

9) $(2x + 5)(x - 2)(x - 6)^4 \ge 0;$

10) $(x + 5)^3 (x - 3)^2 (x - 12) \le 0;$

11) $(x + 6)^3 (x + 1)^4 (x - 3) < 0;$

12) $(2x + 5)(x - 2)^4 (x - 6)^3 < 0.$

1)

Решим неравенство $(2x - 4)(x - 6)(x - 8) \ge 0$.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 4)(x - 6)(x - 8) = 0$.
Корни: $2x - 4 = 0 \implies x_1 = 2$; $x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$; $x - 8 = 0 \implies x_3 = 8$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными.
Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов: $(-\infty; 2]$, $[2; 6]$, $[6; 8]$, $[8; +\infty)$.

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+").
Ответ: $x \in [2; 6] \cup [8; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $(x + 4)(x + 1)(x - 3) \le 0$.
Корни уравнения $(x + 4)(x + 1)(x - 3) = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$, $x_3 = 3$.
Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные.

Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю (со знаком "-").
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-1; 3]$.

3)

Решим неравенство $(2x + 5)(x - 2)(x - 6) \ge 0$.
Корни: $2x + 5 = 0 \implies x_1 = -2.5$; $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$; $x - 6 = 0 \implies x_3 = 6$.
Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge$), точки закрашенные.

Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in [-2.5; 2] \cup [6; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $(x + 5)(x - 1)(x - 7) < 0$.
Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 1$, $x_3 = 7$.
Неравенство строгое ($<$), поэтому точки на числовой прямой будут выколотыми.

Выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; 7)$.

5)

Решим неравенство $(x + 6)(x - 1)(x - 3.6) > 0$.
Корни: $x_1 = -6$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3.6$.
Неравенство строгое ($>$), точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-6; 1) \cup (3.6; +\infty)$.

6)

Решим неравенство $(2x + 1)(x - 1)(x - 2) \le 0$.
Корни: $2x + 1 = 0 \implies x_1 = -0.5$; $x_2 = 1$; $x_3 = 2$.
Неравенство нестрогое ($\le$), точки закрашенные.

Выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $x \in (-\infty; -0.5] \cup [1; 2]$.

7)

Решим неравенство $(x - 4)^2(x - 3)(x + 2) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 4$ (кратность 2, четная), $x_2 = 3$ (кратность 1), $x_3 = -2$ (кратность 1).
При переходе через корень четной кратности ($x=4$) знак выражения не меняется. Точки закрашенные ($\ge$).

Выбираем интервалы со знаком "+", а также сами корни. Точка $x=4$ является решением, так как в ней выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.

8)

Решим неравенство $(x + 6)(x + 1)^4(x - 3) \ge 0$.
Корни: $x_1 = -6$ (кратность 1), $x_2 = -1$ (кратность 4, четная), $x_3 = 3$ (кратность 1).
При переходе через $x=-1$ знак не меняется. Точки закрашенные ($\ge$).

Выбираем интервалы со знаком "+". Также, точка $x=-1$ является решением, так как в ней выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup \{-1\} \cup [3; +\infty)$.

9)

Решим неравенство $(2x + 5)(x - 2)(x - 6)^4 \ge 0$.
Корни: $x_1 = -2.5$, $x_2 = 2$, $x_3 = 6$ (кратность 4, четная).
При переходе через $x=6$ знак не меняется. Точки закрашенные ($\ge$).

Выбираем интервалы со знаком "+", а также сами корни. Точка $x=6$ является решением.
Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [2; +\infty)$.

10)

Решим неравенство $(x + 5)^3(x - 3)^2(x - 12) \le 0$.
Корни: $x_1 = -5$ (кратность 3, нечетная), $x_2 = 3$ (кратность 2, четная), $x_3 = 12$ (кратность 1).
При переходе через $x=3$ знак не меняется. Точки закрашенные ($\le$).

Выбираем интервалы со знаком "-", а также сами корни. Объединяя интервалы $(-5; 3)$ и $(3; 12)$ и точки $x=-5, x=3, x=12$, получаем один сплошной отрезок.
Ответ: $x \in [-5; 12]$.

11)

Решим неравенство $(x + 6)^3(x + 1)^4(x - 3) < 0$.
Корни: $x_1 = -6$ (кратность 3, нечетная), $x_2 = -1$ (кратность 4, четная), $x_3 = 3$ (кратность 1).
Неравенство строгое ($<$), точки выколотые. При переходе через $x=-1$ знак не меняется.

Выбираем интервалы со знаком "-". Точка $x=-1$ не входит в решение, так как неравенство строгое.
Ответ: $x \in (-6; -1) \cup (-1; 3)$.

12)

Решим неравенство $(2x + 5)(x - 2)^4(x - 6)^3 < 0$.
Корни: $x_1 = -2.5$, $x_2 = 2$ (кратность 4, четная), $x_3 = 6$ (кратность 3, нечетная).
Неравенство строгое ($<$), точки выколотые. При переходе через $x=2$ знак не меняется.

Выбираем интервалы со знаком "-". Точка $x=2$ не входит в решение.
Ответ: $x \in (-2.5; 2) \cup (2; 6)$.

19.12. Замените равносильным неравенством и решите неравенство:

1) $\frac{3x+2}{x^2+x-2} < -1;$

2) $\frac{x-2}{x^2+x-2} \ge 1;$

3) $\frac{x+5}{x^2-1} > 1;$

4) $\frac{3-9x}{x^2-1} > 2;$

5) $\frac{2x-7}{x^2+2x-8} > 1;$

6) $\frac{7x+1}{x^2+4x+3} \ge 1;$

7) $\frac{5x+1}{x^2-3x-4} < -1;$

8) $\frac{5x+3}{x^2+x-2} > 1;$

9) $\frac{3x-5}{x^2+2x-8} \le 2;$

10) $\frac{4x+5}{x^2+4x+3} < 3;$

11) $\frac{3x+1}{x^2-4x+3} > -2;$

12) $\frac{5x+3}{x^2-x-2} \le 3.$

1)Исходное неравенство: $\frac{3x+2}{x^2+x-2} < -1$.
Заменим его равносильным, перенеся все члены в левую часть и приведя к общему знаменателю:
$\frac{3x+2}{x^2+x-2} + 1 < 0$
$\frac{3x+2 + (x^2+x-2)}{x^2+x-2} < 0$
$\frac{x^2+4x}{x^2+x-2} < 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2+4x = x(x+4)$. Корни: $x=0, x=-4$.
Знаменатель: $x^2+x-2=0$. Корни по теореме Виета: $x_1=-2, x_2=1$. Тогда $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{x(x+4)}{(x+2)(x-1)} < 0$.
Решим неравенство методом интервалов. Нанесем на числовую ось корни числителя ($0, -4$) и знаменателя ($-2, 1$). Так как неравенство строгое, все точки выколотые. Корни в порядке возрастания: $-4, -2, 0, 1$.
Определим знаки выражения на интервалах, начиная с крайнего правого: $(1, +\infty)$ - знак "+". Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность.
$(-\infty, -4): +$; $(-4, -2): -$; $(-2, 0): +$; $(0, 1): -$; $(1, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (0, 1)$.

2)Исходное неравенство: $\frac{x-2}{x^2+x-2} \ge 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{x-2}{x^2+x-2} - 1 \ge 0$
$\frac{x-2 - (x^2+x-2)}{x^2+x-2} \ge 0$
$\frac{-x^2}{x^2+x-2} \ge 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{x^2}{x^2+x-2} \le 0$
Знаменатель: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. Корни: $x=-2, x=1$.
Числитель: $x^2=0$. Корень: $x=0$ (кратность 2).
Неравенство: $\frac{x^2}{(x+2)(x-1)} \le 0$.
Метод интервалов. Корни знаменателя ($-2, 1$) выколотые. Корень числителя ($0$) невыколотый (включен).
Корни на оси: $-2, 0, 1$.
Определяем знаки: $(1, +\infty)$ - "+". При переходе через $x=1$ знак меняется. При переходе через $x=0$ (корень четной кратности) знак не меняется. При переходе через $x=-2$ знак меняется.
$(-\infty, -2): +$; $(-2, 0): -$; $(0, 1): -$; $(1, +\infty): +$.
Нам нужно, чтобы выражение было $\le 0$. Это интервалы $(-2, 0)$ и $(0, 1)$, а также точка $x=0$. Объединяя, получаем интервал $(-2, 1)$.
Ответ: $x \in (-2, 1)$.

3)Исходное неравенство: $\frac{x+5}{x^2-1} > 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{x+5}{x^2-1} - 1 > 0$
$\frac{x+5 - (x^2-1)}{x^2-1} > 0$
$\frac{-x^2+x+6}{x^2-1} > 0$
$\frac{x^2-x-6}{x^2-1} < 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. Корни: $3, -2$. Знаменатель: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Корни: $1, -1$.
Неравенство: $\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-2, -1, 1, 3$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 3): -$; $(3, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 3)$.

4)Исходное неравенство: $\frac{3-9x}{x^2-1} > 2$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{3-9x}{x^2-1} - 2 > 0$
$\frac{3-9x - 2(x^2-1)}{x^2-1} > 0$
$\frac{-2x^2-9x+5}{x^2-1} > 0$
$\frac{2x^2+9x-5}{x^2-1} < 0$
Разложим на множители. Числитель $2x^2+9x-5=0$. Корни: $x_1=\frac{1}{2}, x_2=-5$. $2x^2+9x-5=(2x-1)(x+5)$. Знаменатель: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
Неравенство: $\frac{(2x-1)(x+5)}{(x-1)(x+1)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-5, -1, 1/2, 1$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -5): +$; $(-5, -1): -$; $(-1, 1/2): +$; $(1/2, 1): -$; $(1, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-5, -1) \cup (\frac{1}{2}, 1)$.

5)Исходное неравенство: $\frac{2x-7}{x^2+2x-8} > 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{2x-7 - (x^2+2x-8)}{x^2+2x-8} > 0$
$\frac{-x^2+1}{x^2+2x-8} > 0$
$\frac{x^2-1}{x^2+2x-8} < 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Корни: $1, -1$. Знаменатель: $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$. Корни: $-4, 2$.
Неравенство: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x+4)(x-2)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-4, -1, 1, 2$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -4): +$; $(-4, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 2): -$; $(2, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-4, -1) \cup (1, 2)$.

6)Исходное неравенство: $\frac{7x+1}{x^2+4x+3} \ge 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{7x+1 - (x^2+4x+3)}{x^2+4x+3} \ge 0$
$\frac{-x^2+3x-2}{x^2+4x+3} \ge 0$
$\frac{x^2-3x+2}{x^2+4x+3} \le 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Корни: $1, 2$. Знаменатель: $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$. Корни: $-1, -3$.
Неравенство: $\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+3)} \le 0$.
Метод интервалов. Корни числителя ($1, 2$) включены. Корни знаменателя ($-3, -1$) выколоты. Корни на оси: $-3, -1, 1, 2$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 2): -$; $(2, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус" и включенные концы.
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup [1, 2]$.

7)Исходное неравенство: $\frac{5x+1}{x^2-3x-4} < -1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{5x+1 + (x^2-3x-4)}{x^2-3x-4} < 0$
$\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-4} < 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$. Корни: $-3, 1$. Знаменатель: $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$. Корни: $4, -1$.
Неравенство: $\frac{(x+3)(x-1)}{(x-4)(x+1)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-3, -1, 1, 4$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 4): -$; $(4, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (1, 4)$.

8)Исходное неравенство: $\frac{5x+3}{x^2+x-2} > 1$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{5x+3 - (x^2+x-2)}{x^2+x-2} > 0$
$\frac{-x^2+4x+5}{x^2+x-2} > 0$
$\frac{x^2-4x-5}{x^2+x-2} < 0$
Разложим на множители. Числитель: $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$. Корни: $5, -1$. Знаменатель: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. Корни: $-2, 1$.
Неравенство: $\frac{(x-5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} < 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-2, -1, 1, 5$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, -1): -$; $(-1, 1): +$; $(1, 5): -$; $(5, +\infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 5)$.

9)Исходное неравенство: $\frac{3x-5}{x^2+2x-8} \le 2$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{3x-5 - 2(x^2+2x-8)}{x^2+2x-8} \le 0$
$\frac{-2x^2-x+11}{x^2+2x-8} \le 0$
$\frac{2x^2+x-11}{x^2+2x-8} \ge 0$
Разложим на множители. Числитель $2x^2+x-11=0$. Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(2)(-11)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{89}}{4}$. Знаменатель: $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$. Корни: $-4, 2$.
Неравенство: $\frac{2(x-\frac{-1-\sqrt{89}}{4})(x-\frac{-1+\sqrt{89}}{4})}{(x+4)(x-2)} \ge 0$.
Метод интервалов. Корни числителя ($\frac{-1 \pm \sqrt{89}}{4}$) включены. Корни знаменателя ($-4, 2$) выколоты. Корни на оси в порядке возрастания: $-4, \frac{-1-\sqrt{89}}{4}, 2, \frac{-1+\sqrt{89}}{4}$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -4): +$; $(-4, \frac{-1-\sqrt{89}}{4}): -$; $(\frac{-1-\sqrt{89}}{4}, 2): +$; $(2, \frac{-1+\sqrt{89}}{4}): -$; $(\frac{-1+\sqrt{89}}{4}, \infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "плюс" и включенные концы.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [\frac{-1-\sqrt{89}}{4}, 2) \cup [\frac{-1+\sqrt{89}}{4}, \infty)$.

10)Исходное неравенство: $\frac{4x+5}{x^2+4x+3} < 3$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{4x+5 - 3(x^2+4x+3)}{x^2+4x+3} < 0$
$\frac{-3x^2-8x-4}{x^2+4x+3} < 0$
$\frac{3x^2+8x+4}{x^2+4x+3} > 0$
Разложим на множители. Числитель $3x^2+8x+4=0$. Корни: $x_1=-2, x_2=-\frac{2}{3}$. $3x^2+8x+4=(x+2)(3x+2)$. Знаменатель: $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$.
Неравенство: $\frac{(x+2)(3x+2)}{(x+1)(x+3)} > 0$.
Метод интервалов. Все корни выколотые. Корни на оси: $-3, -2, -1, -2/3$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -3): +$; $(-3, -2): -$; $(-2, -1): +$; $(-1, -2/3): -$; $(-2/3, \infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, -1) \cup (-\frac{2}{3}, \infty)$.

11)Исходное неравенство: $\frac{3x+1}{x^2-4x+3} > -2$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{3x+1 + 2(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} > 0$
$\frac{2x^2-5x+7}{x^2-4x+3} > 0$
Рассмотрим числитель: $2x^2-5x+7$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(7) = 25 - 56 = -31 < 0$. Так как старший коэффициент $2>0$, числитель всегда положителен.
Поэтому неравенство равносильно неравенству $x^2-4x+3 > 0$.
Разложим на множители: $(x-1)(x-3) > 0$.
Корни: $1, 3$. Это парабола ветвями вверх, она положительна вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

12)Исходное неравенство: $\frac{5x+3}{x^2-x-2} \le 3$.
Преобразуем в равносильное:
$\frac{5x+3 - 3(x^2-x-2)}{x^2-x-2} \le 0$
$\frac{-3x^2+8x+9}{x^2-x-2} \le 0$
$\frac{3x^2-8x-9}{x^2-x-2} \ge 0$
Разложим на множители. Числитель $3x^2-8x-9=0$. Корни: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64-4(3)(-9)}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{172}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{43}}{3}$. Знаменатель: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Корни: $2, -1$.
Неравенство: $\frac{3(x-\frac{4-\sqrt{43}}{3})(x-\frac{4+\sqrt{43}}{3})}{(x-2)(x+1)} \ge 0$.
Метод интервалов. Корни числителя ($\frac{4 \pm \sqrt{43}}{3}$) включены. Корни знаменателя ($-1, 2$) выколоты. Корни на оси в порядке возрастания: $-1, \frac{4-\sqrt{43}}{3}, 2, \frac{4+\sqrt{43}}{3}$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -1): +$; $(-1, \frac{4-\sqrt{43}}{3}): -$; $(\frac{4-\sqrt{43}}{3}, 2): +$; $(2, \frac{4+\sqrt{43}}{3}): -$; $(\frac{4+\sqrt{43}}{3}, \infty): +$.
Выбираем интервалы со знаком "плюс" и включенные концы.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{4-\sqrt{43}}{3}, 2) \cup [\frac{4+\sqrt{43}}{3}, \infty)$.

19.13. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 3x + 2) (x^2 + 2x) \ge 0;$2) $2(x^2 - 3x - 4) (x^2 + x) < 0;$

3) $(x^2 - 5x + 6) (-x^2 + 3x) \le 0;$4) $(-x^2 - 2x + 8) (x^2 - 4) < 0;$

5) $(x^2 - 3x - 4) (x^2 - 16) \ge 0;$6) $(x^2 - 5x + 6) (-x^2 + 9) > 0;$

7) $(x^2 - 2x - 8) (9 - x^2) > 0;$8) $(x^2 - x - 6) (4 - x^2) \le 0;$

9) $(x^2 - 3x - 10) (25 - x^2) \le 0;$10) $(-x^2 - 6x) (x^2 - 36) \ge 0;$

11) $(x^2 - 4) (x^2 - 16) \ge 0;$12) $(x^2 - 5x) (-x^2 + 25) > 0.$

1)Решим неравенство $(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x) \ge 0$.Для начала разложим каждый квадратный трехчлен на множители.Для $x^2 - 3x + 2$: найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.Для $x^2 + 2x$: вынесем $x$ за скобки, $x^2 + 2x = x(x+2)$.Неравенство принимает вид: $(x-1)(x-2)x(x+2) \ge 0$.Найдем нули функции $f(x) = x(x+2)(x-1)(x-2)$. Это точки $x = -2, x = 0, x = 1, x = 2$.Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Определим знаки функции на полученных интервалах.Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, 1] \cup [2, +\infty)$.

2)Решим неравенство $2(x^2 - 3x - 4)(x^2 + x) < 0$.Разделим обе части на 2: $(x^2 - 3x - 4)(x^2 + x) < 0$.Разложим множители:$x^2 - 3x - 4 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \implies x_1 = 4, x_2 = -1$. Так $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$.$x^2 + x = x(x+1)$.Неравенство становится: $(x-4)(x+1)x(x+1) < 0$, или $x(x-4)(x+1)^2 < 0$.Нули функции: $x = -1$ (кратность 2), $x = 0$, $x = 4$.Так как неравенство строгое ($<$), точки на оси будут выколотыми. При переходе через корень четной кратности ($x=-1$) знак функции не меняется.Выбираем интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (0, 4)$.

3)Решим неравенство $(x^2 - 5x + 6)(-x^2 + 3x) \le 0$.Разложим множители:$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.$-x^2 + 3x = -x(x-3)$.Неравенство: $(x-2)(x-3)(-x(x-3)) \le 0$, или $-x(x-2)(x-3)^2 \le 0$.Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x(x-2)(x-3)^2 \ge 0$.Нули: $x=0, x=2, x=3$ (кратность 2). Точки закрашенные ($\ge$). При переходе через $x=3$ знак не меняется.Выбираем интервалы со знаком "+" и сами точки.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$.

4)Решим неравенство $(-x^2 - 2x + 8)(x^2 - 4) < 0$.Разложим множители:$-x^2 - 2x + 8 = -(x^2+2x-8) = -(x+4)(x-2)$.$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.Неравенство: $-(x+4)(x-2)(x-2)(x+2) < 0$, или $-(x+4)(x+2)(x-2)^2 < 0$.Умножим на -1: $(x+4)(x+2)(x-2)^2 > 0$.Нули: $x=-4, x=-2, x=2$ (кратность 2). Точки выколотые ($>$).Выбираем интервалы со знаком "+", исключая точку $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

5)Решим неравенство $(x^2 - 3x - 4)(x^2 - 16) \ge 0$.Разложим множители:$x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$.$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.Неравенство: $(x-4)(x+1)(x-4)(x+4) \ge 0$, или $(x+4)(x+1)(x-4)^2 \ge 0$.Нули: $x=-4, x=-1, x=4$ (кратность 2). Точки закрашенные ($\ge$).Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)$.

6)Решим неравенство $(x^2 - 5x + 6)(-x^2 + 9) > 0$.Разложим множители:$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.$-x^2 + 9 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3)$.Неравенство: $(x-2)(x-3)(-(x-3)(x+3)) > 0$, или $-(x+3)(x-2)(x-3)^2 > 0$.Умножим на -1: $(x+3)(x-2)(x-3)^2 < 0$.Нули: $x=-3, x=2, x=3$ (кратность 2). Точки выколотые ($<$).Выбираем интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-3, 2)$.

7)Решим неравенство $(x^2 - 2x - 8)(9 - x^2) > 0$.Разложим множители:$x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$.$9 - x^2 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3)$.Неравенство: $(x-4)(x+2)(-(x-3)(x+3)) > 0$, или $-(x+3)(x+2)(x-3)(x-4) > 0$.Умножим на -1: $(x+3)(x+2)(x-3)(x-4) < 0$.Нули: $x=-3, x=-2, x=3, x=4$. Точки выколотые ($<$).Выбираем интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (3, 4)$.

8)Решим неравенство $(x^2 - x - 6)(4 - x^2) \le 0$.Разложим множители:$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.$4 - x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2)$.Неравенство: $(x-3)(x+2)(-(x-2)(x+2)) \le 0$, или $-(x-3)(x-2)(x+2)^2 \le 0$.Умножим на -1: $(x-3)(x-2)(x+2)^2 \ge 0$.Нули: $x=-2$ (кратность 2), $x=2, x=3$. Точки закрашенные ($\ge$).Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.

9)Решим неравенство $(x^2 - 3x - 10)(25 - x^2) \le 0$.Разложим множители:$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$.$25 - x^2 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.Неравенство: $(x-5)(x+2)(-(x-5)(x+5)) \le 0$, или $-(x+5)(x+2)(x-5)^2 \le 0$.Умножим на -1: $(x+5)(x+2)(x-5)^2 \ge 0$.Нули: $x=-5, x=-2, x=5$ (кратность 2). Точки закрашенные ($\ge$).Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-2, +\infty)$.

10)Решим неравенство $(-x^2 - 6x)(x^2 - 36) \ge 0$.Разложим множители:$-x^2 - 6x = -x(x+6)$.$x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$.Неравенство: $-x(x+6)(x-6)(x+6) \ge 0$, или $-x(x-6)(x+6)^2 \ge 0$.Умножим на -1: $x(x-6)(x+6)^2 \le 0$.Нули: $x=-6$ (кратность 2), $x=0, x=6$. Точки закрашенные ($\le$).Выбираем интервалы со знаком "−" и изолированную точку $x=-6$.
Ответ: $x \in [0, 6] \cup \{-6\}$.

11)Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 16) \ge 0$.Разложим множители: $(x-2)(x+2)(x-4)(x+4) \ge 0$.Нули: $x=-4, x=-2, x=2, x=4$. Точки закрашенные ($\ge$).Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-2, 2] \cup [4, +\infty)$.

12)Решим неравенство $(x^2 - 5x)(-x^2 + 25) > 0$.Разложим множители:$x^2 - 5x = x(x-5)$.$-x^2 + 25 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.Неравенство: $x(x-5)(-(x-5)(x+5)) > 0$, или $-x(x+5)(x-5)^2 > 0$.Умножим на -1: $x(x+5)(x-5)^2 < 0$.Нули: $x=-5, x=0, x=5$ (кратность 2). Точки выколотые ($<$).Выбираем интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-5, 0)$.

19.14. Равносильны ли неравенства:

1) $(2x + 5)(x - 3) > 0$ и $\frac{2x + 5}{x - 3} > 0$;

2) $(3x - 5)(2x + 3) \ge 0$ и $\frac{2x + 3}{3x - 5} \ge 0$;

3) $2x + \frac{x + 5}{x - 1} > \frac{x + 5}{x - 1} - 6$ и $x > -3$;

4) $3x - \frac{2x + 5}{x - 3} \le 12 - \frac{2x + 5}{x - 3}$ и $x \le 4$;

5) $\frac{1}{2x} < 1$ и $x > 0,5$;

6) $\frac{2}{x^2} > 1$ и $x^2 < 2$;

7) $\frac{1}{|x|} < 1$ и $|x| > 1$;

8) $\frac{5}{|x|} > 1$ и $|x| < 5?$;

1)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждого неравенства.

Первое неравенство: $(2x + 5)(x - 3) > 0$.

Используем метод интервалов. Корни соответствующего уравнения $(2x + 5)(x - 3) = 0$ равны $x_1 = -2.5$ и $x_2 = 3$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Так как неравенство строгое, сами точки в решение не входят.

Множество решений: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (3; +\infty)$.

Второе неравенство: $\frac{2x + 5}{x - 3} > 0$.

Метод интервалов для дробей работает аналогично. Нуль числителя $x = -2.5$, нуль знаменателя $x = 3$. Точка $x=3$ является точкой разрыва и не входит в область определения.Знак дроби $\frac{A}{B}$ совпадает со знаком произведения $A \cdot B$. Следовательно, знаки на интервалах будут такими же, как и в первом случае.

Множество решений: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (3; +\infty)$.

Так как множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.

Ответ: неравенства равносильны.

2)

Первое неравенство: $(3x - 5)(2x + 3) \ge 0$.

Корни уравнения $(3x - 5)(2x + 3) = 0$ равны $x_1 = 5/3$ и $x_2 = -3/2 = -1.5$. Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в решение.

Множество решений: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [5/3; +\infty)$.

Второе неравенство: $\frac{2x + 3}{3x - 5} \ge 0$.

Нуль числителя $x = -1.5$, нуль знаменателя $x = 5/3$.Точка $x = -1.5$ является решением, так как неравенство нестрогое и числитель может быть равен нулю.Точка $x = 5/3$ не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Множество решений: $x \in (-\infty; -1.5] \cup (5/3; +\infty)$.

Множества решений не совпадают: точка $x=5/3$ принадлежит решению первого неравенства, но не принадлежит решению второго. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

3)

Первое неравенство: $2x + \frac{x+5}{x-1} > \frac{x+5}{x-1} - 6$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.Перенесем слагаемое $\frac{x+5}{x-1}$ из правой части в левую:

$2x + \frac{x+5}{x-1} - \frac{x+5}{x-1} > -6$

$2x > -6$

$x > -3$

Учитывая ОДЗ, получаем множество решений: $x \in (-3; 1) \cup (1; +\infty)$.

Второе неравенство: $x > -3$.

Множество решений: $x \in (-3; +\infty)$.

Множества решений не совпадают: число $1$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

4)

Первое неравенство: $3x - \frac{2x+5}{x-3} \le 12 - \frac{2x+5}{x-3}$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.Прибавим к обеим частям неравенства выражение $\frac{2x+5}{x-3}$:

$3x \le 12$

$x \le 4$

С учетом ОДЗ, получаем множество решений: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; 4]$.

Второе неравенство: $x \le 4$.

Множество решений: $x \in (-\infty; 4]$.

Множества решений не совпадают: число $3$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

5)

Первое неравенство: $\frac{1}{2x} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:$\frac{1}{2x} - 1 < 0$

$\frac{1 - 2x}{2x} < 0$

Решаем методом интервалов. Нуль числителя $x=0.5$, нуль знаменателя $x=0$.Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 0.5)$, $(0.5; +\infty)$.- При $x>0.5$ (например, $x=1$): $\frac{1-2}{2} < 0$. Верно.- При $0

Множество решений: $x \in (-\infty; 0) \cup (0.5; +\infty)$.

Второе неравенство: $x > 0.5$.

Множество решений: $x \in (0.5; +\infty)$.

Множества решений не совпадают (например, $x=-1$ является решением первого неравенства, но не второго). Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

6)

Первое неравенство: $\frac{2}{x^2} > 1$.

ОДЗ: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$.Так как $x^2 > 0$ при всех $x$ из ОДЗ, можно умножить обе части неравенства на $x^2$, не меняя знака неравенства:$2 > x^2$$x^2 < 2$

Решением неравенства $x^2 < 2$ является интервал $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.Учитывая ОДЗ ($x \neq 0$), получаем множество решений: $x \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (0; \sqrt{2})$.

Второе неравенство: $x^2 < 2$.

Множество решений: $x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.

Множества решений не совпадают: число $0$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

7)

Первое неравенство: $\frac{1}{|x|} < 1$.

ОДЗ: $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$.Поскольку $|x| > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, мы можем умножить обе части неравенства на $|x|$ без изменения знака:$1 < |x|$$|x| > 1$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.Это множество не содержит $x=0$, поэтому условие ОДЗ выполнено.

Второе неравенство: $|x| > 1$.

Множество решений: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: неравенства равносильны.

8)

Первое неравенство: $\frac{5}{|x|} > 1$.

ОДЗ: $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$.Так как $|x| > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, умножим обе части на $|x|$:$5 > |x|$$|x| < 5$

Решением этого неравенства является интервал $(-5; 5)$.С учетом ОДЗ ($x \neq 0$), получаем множество решений: $x \in (-5; 0) \cup (0; 5)$.

Второе неравенство: $|x| < 5$.

Множество решений: $x \in (-5; 5)$.

Множества решений не совпадают: число $0$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.