Страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.8. При каких значениях переменной $x$ выполняется двойное не-равенство:

1) $0 \le x^2 - 4x < 5;$

2) $-2 < 3x^2 - 4x - 1 < 2;$

3) $2 \le 2x^2 - 5x + 2 < 4;$

4) $-2 \le x^2 - 4x < 5?$

1)Двойное неравенство $0 \le x^2 - 4x < 5$ равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 4x \ge 0 \\ x^2 - 4x < 5 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$x^2 - 4x \ge 0$
$x(x - 4) \ge 0$
Корни уравнения $x(x - 4) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2 - 4x < 5$
$x^2 - 4x - 5 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-1, 5)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$ и $(-1, 5)$.
Пересечение этих множеств дает нам $x \in (-1, 0] \cup [4, 5)$.
Ответ: $x \in (-1, 0] \cup [4, 5)$.

2)Двойное неравенство $-2 < 3x^2 - 4x - 1 < 2$ равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} 3x^2 - 4x - 1 > -2 \\ 3x^2 - 4x - 1 < 2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$3x^2 - 4x - 1 > -2$
$3x^2 - 4x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.
$x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{6}{6} = 1$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1/3) \cup (1, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$3x^2 - 4x - 1 < 2$
$3x^2 - 4x - 3 < 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 16 + 36 = 52$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (\frac{2 - \sqrt{13}}{3}, \frac{2 + \sqrt{13}}{3})$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, 1/3) \cup (1, +\infty)$ и $(\frac{2 - \sqrt{13}}{3}, \frac{2 + \sqrt{13}}{3})$.
Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $\frac{2-4}{3} < \frac{2 - \sqrt{13}}{3} < \frac{2-3}{3}$, то есть $-2/3 < \frac{2 - \sqrt{13}}{3} < -1/3$.
А $\frac{2+3}{3} < \frac{2 + \sqrt{13}}{3} < \frac{2+4}{3}$, то есть $5/3 < \frac{2 + \sqrt{13}}{3} < 2$.
Таким образом, искомое пересечение: $(\frac{2 - \sqrt{13}}{3}, 1/3) \cup (1, \frac{2 + \sqrt{13}}{3})$.
Ответ: $x \in (\frac{2 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{2 + \sqrt{13}}{3})$.

3)Двойное неравенство $2 \le 2x^2 - 5x + 2 < 4$ равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} 2x^2 - 5x + 2 \ge 2 \\ 2x^2 - 5x + 2 < 4 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2x^2 - 5x + 2 \ge 2$
$2x^2 - 5x \ge 0$
$x(2x - 5) \ge 0$
Корни уравнения $x(2x-5)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=5/2=2.5$. Парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [5/2, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$2x^2 - 5x + 2 < 4$
$2x^2 - 5x - 2 < 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 + 16 = 41$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{4}$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (\frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4})$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, 0] \cup [5/2, +\infty)$ и $(\frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4})$.
Так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $\frac{5-7}{4} < \frac{5 - \sqrt{41}}{4} < \frac{5-6}{4}$, то есть $-1/2 < \frac{5 - \sqrt{41}}{4} < -1/4$.
А $\frac{5+6}{4} < \frac{5 + \sqrt{41}}{4} < \frac{5+7}{4}$, то есть $11/4 < \frac{5 + \sqrt{41}}{4} < 3$. $5/2 = 10/4$.
Таким образом, искомое пересечение: $(\frac{5 - \sqrt{41}}{4}, 0] \cup [5/2, \frac{5 + \sqrt{41}}{4})$.
Ответ: $x \in (\frac{5 - \sqrt{41}}{4}, 0] \cup [\frac{5}{2}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4})$.

4)Двойное неравенство $-2 \le x^2 - 4x < 5$ равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 4x \ge -2 \\ x^2 - 4x < 5 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$x^2 - 4x \ge -2$
$x^2 - 4x + 2 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2 - 4x < 5$
$x^2 - 4x - 5 < 0$
Это неравенство было решено в пункте 1). Его решение: $x \in (-1, 5)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, +\infty)$ и $(-1, 5)$.
Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0 < 2 - \sqrt{2} < 1$ и $3 < 2 + \sqrt{2} < 4$.
Интервал $(-1, 5)$ пересекается с $(-\infty, 2 - \sqrt{2}]$ на промежутке $(-1, 2 - \sqrt{2}]$.
Интервал $(-1, 5)$ пересекается с $[2 + \sqrt{2}, +\infty)$ на промежутке $[2 + \sqrt{2}, 5)$.
Объединяя эти два промежутка, получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in (-1, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, 5)$.

20.9. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \geq 0, \\ 5x^2 - 3x - 2 < 0, \\ x^2 < 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - x - 6 < 0, \\ 4x^2 - 7x + 3 > 0, \\ x^2 < 9; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + 5x - 6 \geq 0, \\ 3x^2 - 7x + 4 \geq 0, \\ x^2 \geq 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 - 2x - 8 > 0, \\ 2x^2 - 7x + 5 \leq 0, \\ x^2 - 16 > 0. \end{cases}$

1) Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.
2. $5x^2 - 3x - 2 < 0$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$. Корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{10}$. Получаем $x_1 = \frac{3-7}{10} = -0.4$ и $x_2 = \frac{3+7}{10} = 1$. Ветви параболы $y = 5x^2 - 3x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-0.4, 1)$.
3. $x^2 < 4$. Это неравенство равносильно $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$. Решение: $x \in (-2, 2)$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств решений: $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$, $(-0.4, 1)$ и $(-2, 2)$.
Общим решением является интервал, удовлетворяющий всем трем условиям. Нанеся решения на числовую ось, видим, что пересечением всех трех множеств является интервал $(-0.4, 1)$.
Ответ: $x \in (-0.4, 1)$.

2) Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2 - x - 6 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы $y = x^2 - x - 6$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-2, 3)$.
2. $4x^2 - 7x + 3 > 0$. Найдем корни уравнения $4x^2 - 7x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{8}$. Получаем $x_1 = \frac{7-1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ и $x_2 = \frac{7+1}{8} = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 3/4) \cup (1, \infty)$.
3. $x^2 < 9$. Это неравенство равносильно $|x| < 3$, то есть $-3 < x < 3$. Решение: $x \in (-3, 3)$.
Найдем пересечение решений: $(-2, 3)$, $(-\infty, 3/4) \cup (1, \infty)$ и $(-3, 3)$.
Пересечение первого и третьего интервалов дает $(-2, 3)$. Теперь пересечем этот результат со вторым решением: $(-2, 3) \cap ((-\infty, 3/4) \cup (1, \infty))$. Это дает объединение двух интервалов: $(-2, 3/4) \cup (1, 3)$.
Ответ: $x \in (-2, 3/4) \cup (1, 3)$.

3) Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty)$.
2. $3x^2 - 7x + 4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{6}$. Получаем $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4/3, \infty)$.
3. $x^2 \ge 1$. Это неравенство равносильно $|x| \ge 1$, то есть $x \le -1$ или $x \ge 1$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Найдем пересечение трех множеств решений: $((-\infty, -6] \cup [1, \infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup [4/3, \infty)) \cap ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$.
Рассмотрим пересечение на двух участках: для $x \le -1$ и для $x \ge 1$.
- При $x \le -1$: пересечение $(-\infty, -6]$, $(-\infty, 1]$ и $(-\infty, -1]$ дает $(-\infty, -6]$.
- При $x \ge 1$: пересечение $[1, \infty)$, $(-\infty, 1] \cup [4/3, \infty)$ и $[1, \infty)$ дает точку $\{1\}$ и интервал $[4/3, \infty)$.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup \{1\} \cup [4/3, \infty)$.

4) Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2 - 2x - 8 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
2. $2x^2 - 7x + 5 \le 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4}$. Получаем $x_1 = \frac{7-3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [1, 2.5]$.
3. $x^2 - 16 > 0$. Это равносильно $x^2 > 16$ или $|x| > 4$. Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2) \cup (4, \infty))$, $[1, 2.5]$ и $((-\infty, -4) \cup (4, \infty))$.
Интервал $[1, 2.5]$ не имеет общих точек ни с интервалом $(-\infty, -2)$, ни с интервалом $(4, \infty)$. Также он не пересекается с множеством $(-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.
Следовательно, пересечение всех трех множеств пусто.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

20.10. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{4x-2}{5-x}} + \sqrt{2x^2+7x+5} + \frac{1}{2x}$;

2) $y = \sqrt{\frac{3x-5}{4-x}} + \sqrt{3x^2+7x+4} + \frac{1}{2x-1}$;

3) $y = \sqrt{\frac{7-2x}{3-x}} + \sqrt{-3x^2+7x-4} + \frac{1}{4x-1}$;

4) $y = \sqrt{\frac{1-3x}{6-4x}} + \sqrt{x^2+5x+4} + \frac{1}{2-x}$.

1)

Функция $y = \sqrt{\frac{4x-2}{5-x}} + \sqrt{2x^2+7x+5} + \frac{1}{2x}$ определена, если все три слагаемых определены. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \frac{4x-2}{5-x} \ge 0, \\ 2x^2+7x+5 \ge 0, \\ 2x \ne 0. \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $\frac{4x-2}{5-x} \ge 0$. Нули числителя: $4x-2=0 \implies x=0.5$. Нули знаменателя: $5-x=0 \implies x=5$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in [0.5, 5)$.

2. $2x^2+7x+5 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2+7x+5=0$. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$. Корни: $x_1 = \frac{-7-3}{4} = -2.5$ и $x_2 = \frac{-7+3}{4} = -1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2.5] \cup [-1, +\infty)$.

3. $2x \ne 0 \implies x \ne 0$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $x \in [0.5, 5) \cap ((-\infty, -2.5] \cup [-1, +\infty)) \cap \{x \ne 0\}$. Интервал $[0.5, 5)$ полностью содержится в интервале $[-1, +\infty)$ и не содержит точку $x=0$. Следовательно, область определения функции есть пересечение этих множеств, что дает $[0.5, 5)$.

Ответ: $x \in [0.5, 5)$.

2)

Функция $y = \sqrt{\frac{3x-5}{4-x}} + \sqrt{3x^2+7x+4} + \frac{1}{2x-1}$ определена, если выполняются условия:

$\begin{cases} \frac{3x-5}{4-x} \ge 0, \\ 3x^2+7x+4 \ge 0, \\ 2x-1 \ne 0. \end{cases}$

1. $\frac{3x-5}{4-x} \ge 0$. Нули числителя: $3x-5=0 \implies x=5/3$. Нули знаменателя: $4-x=0 \implies x=4$. Методом интервалов получаем $x \in [5/3, 4)$.

2. $3x^2+7x+4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $3x^2+7x+4=0$. $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 = 1^2$. Корни: $x_1 = \frac{-7-1}{6} = -4/3$ и $x_2 = \frac{-7+1}{6} = -1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому $x \in (-\infty, -4/3] \cup [-1, +\infty)$.

3. $2x-1 \ne 0 \implies x \ne 0.5$.

Найдем пересечение: $x \in [5/3, 4) \cap ((-\infty, -4/3] \cup [-1, +\infty)) \cap \{x \ne 0.5\}$. Интервал $[5/3, 4)$ (приблизительно $[1.67, 4)$) полностью содержится в $[-1, +\infty)$ и не содержит точку $x=0.5$. Таким образом, область определения функции: $x \in [5/3, 4)$.

Ответ: $x \in [5/3, 4)$.

3)

Функция $y = \sqrt{\frac{7-2x}{3-x}} + \sqrt{-3x^2+7x-4} + \frac{1}{4x-1}$ определена, если:

$\begin{cases} \frac{7-2x}{3-x} \ge 0, \\ -3x^2+7x-4 \ge 0, \\ 4x-1 \ne 0. \end{cases}$

1. $\frac{7-2x}{3-x} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2x-7}{x-3} \ge 0$. Нули числителя: $2x-7=0 \implies x=3.5$. Нули знаменателя: $x-3=0 \implies x=3$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, 3) \cup [3.5, +\infty)$.

2. $-3x^2+7x-4 \ge 0 \Leftrightarrow 3x^2-7x+4 \le 0$. Найдем корни уравнения $3x^2-7x+4=0$. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 = 1^2$. Корни: $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7+1}{6} = 4/3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $x \in [1, 4/3]$.

3. $4x-1 \ne 0 \implies x \ne 1/4$.

Найдем пересечение: $x \in ((-\infty, 3) \cup [3.5, +\infty)) \cap [1, 4/3] \cap \{x \ne 1/4\}$. Интервал $[1, 4/3]$ (приблизительно $[1, 1.33]$) полностью содержится в интервале $(-\infty, 3)$. Точка $x=1/4$ не входит в этот интервал. Следовательно, область определения: $x \in [1, 4/3]$.

Ответ: $x \in [1, 4/3]$.

4)

Функция $y = \sqrt{\frac{1-3x}{6-4x}} + \sqrt{x^2+5x+4} + \frac{1}{2-x}$ определена, если:

$\begin{cases} \frac{1-3x}{6-4x} \ge 0, \\ x^2+5x+4 \ge 0, \\ 2-x \ne 0. \end{cases}$

1. $\frac{1-3x}{6-4x} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{3x-1}{4x-6} \ge 0$. Нули числителя: $3x-1=0 \implies x=1/3$. Нули знаменателя: $4x-6=0 \implies x=3/2=1.5$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, 1/3] \cup (1.5, +\infty)$.

2. $x^2+5x+4 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+5x+4=0$ по теореме Виета $x_1=-4$ и $x_2=-1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)$.

3. $2-x \ne 0 \implies x \ne 2$.

Найдем пересечение множеств $((-\infty, 1/3] \cup (1.5, +\infty))$ и $((-\infty, -4] \cup [-1, +\infty))$. Пересечение $(-\infty, 1/3]$ с вторым множеством дает $(-\infty, -4] \cup [-1, 1/3]$. Пересечение $(1.5, +\infty)$ с вторым множеством дает $(1.5, +\infty)$. Объединяя результаты, получаем $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 1/3] \cup (1.5, +\infty)$. Теперь учтем условие $x \ne 2$. Точка $x=2$ находится в интервале $(1.5, +\infty)$, поэтому ее нужно исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 1/3] \cup (1.5, 2) \cup (2, +\infty)$.

Решите системы неравенств (20.11–20.14):

20.11. 1) $ \begin{cases} \frac{4}{x} - \frac{x}{4} \ge 0, \\ \frac{3-2x}{x-2} > 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{2}{x} - \frac{x}{2} > 0, \\ \frac{5-2x}{3x-4} > 2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{3}{x} - \frac{x}{3} \le 0, \\ \frac{7-5x}{4x-5} \le 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{4}{x} - \frac{x}{3} < 0, \\ \frac{9-4x}{5x-6} \le 1. \end{cases} $

1)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\frac{4}{x} - \frac{x}{4} \ge 0, \\\frac{3-2x}{x-2} > 1\end{cases}$

Решим первое неравенство: $ \frac{4}{x} - \frac{x}{4} \ge 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{16 - x^2}{4x} \ge 0 $.
Разложим числитель на множители: $ \frac{(4-x)(4+x)}{4x} \ge 0 $.
Найдем нули числителя ($x=4, x=-4$) и знаменателя ($x=0$).
Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=4$ и $x=-4$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю. Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, -4] \cup (0, 4] $.

Решим второе неравенство: $ \frac{3-2x}{x-2} > 1 $.
Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{3-2x}{x-2} - 1 > 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{3-2x - (x-2)}{x-2} > 0 \implies \frac{5-3x}{x-2} > 0 $.
Найдем нули числителя ($x=5/3$) и знаменателя ($x=2$).
Отметим точки на числовой прямой. Обе точки будут выколотыми (неравенство строгое).

Выбираем интервал, где выражение больше нуля. Решение второго неравенства: $ x \in (5/3, 2) $.

Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -4] \cup (0, 4]) \cap (5/3, 2) $.
Поскольку $0 < 5/3$ и $2 < 4$, интервал $(5/3, 2)$ полностью содержится в интервале $(0, 4]$.
Следовательно, решение системы — это интервал $ (5/3, 2) $.
Ответ: $ (5/3, 2) $.

2)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\frac{2}{x} - \frac{x}{2} > 0, \\\frac{5-2x}{3x-4} > 2\end{cases}$

Решим первое неравенство: $ \frac{2}{x} - \frac{x}{2} > 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{4 - x^2}{2x} > 0 $.
Разложим числитель: $ \frac{(2-x)(2+x)}{2x} > 0 $.
Нули числителя: $x=2, x=-2$. Нуль знаменателя: $x=0$. Все точки выколотые (неравенство строгое).

Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2) $.

Решим второе неравенство: $ \frac{5-2x}{3x-4} > 2 $.
$ \frac{5-2x}{3x-4} - 2 > 0 \implies \frac{5-2x - 2(3x-4)}{3x-4} > 0 \implies \frac{5-2x - 6x + 8}{3x-4} > 0 \implies \frac{13-8x}{3x-4} > 0 $.
Нули числителя: $x=13/8$. Нуль знаменателя: $x=4/3$. Обе точки выколотые.
Отметим, что $4/3 \approx 1.33$ и $13/8 = 1.625$, поэтому $4/3 < 13/8$.

Решение второго неравенства: $ x \in (4/3, 13/8) $.

Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -2) \cup (0, 2)) \cap (4/3, 13/8) $.
Интервал $(4/3, 13/8)$ целиком лежит внутри интервала $(0, 2)$.
Следовательно, решение системы — это интервал $ (4/3, 13/8) $.
Ответ: $ (4/3, 13/8) $.

3)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\frac{3}{x} - \frac{x}{3} \le 0, \\\frac{7-5x}{4x-5} \le 2\end{cases}$

Решим первое неравенство: $ \frac{3}{x} - \frac{x}{3} \le 0 $.
$ \frac{9-x^2}{3x} \le 0 \implies \frac{(3-x)(3+x)}{3x} \le 0 $.
Нули числителя: $x=3, x=-3$ (закрашенные). Нуль знаменателя: $x=0$ (выколотый).

Решение первого неравенства: $ x \in [-3, 0) \cup [3, \infty) $.

Решим второе неравенство: $ \frac{7-5x}{4x-5} \le 2 $.
$ \frac{7-5x}{4x-5} - 2 \le 0 \implies \frac{7-5x - 2(4x-5)}{4x-5} \le 0 \implies \frac{17-13x}{4x-5} \le 0 $.
Нуль числителя: $x=17/13$ (закрашенный). Нуль знаменателя: $x=5/4$ (выколотый).
Отметим, что $5/4 = 1.25$ и $17/13 \approx 1.307$, поэтому $5/4 < 17/13$.

Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, 5/4) \cup [17/13, \infty) $.

Найдем пересечение решений: $ ([-3, 0) \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, 5/4) \cup [17/13, \infty)) $.
Пересечение интервала $ [-3, 0) $ с множеством $ (-\infty, 5/4) \cup [17/13, \infty) $ дает $ [-3, 0) $, так как $0 < 5/4$.
Пересечение интервала $ [3, \infty) $ с множеством $ (-\infty, 5/4) \cup [17/13, \infty) $ дает $ [3, \infty) $, так как $3 > 17/13$.
Объединяя результаты, получаем решение системы: $ [-3, 0) \cup [3, \infty) $.
Ответ: $ [-3, 0) \cup [3, \infty) $.

4)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\frac{4}{x} - \frac{x}{3} < 0, \\\frac{9-4x}{5x-6} \le 1\end{cases}$

Решим первое неравенство: $ \frac{4}{x} - \frac{x}{3} < 0 $.
$ \frac{12-x^2}{3x} < 0 \implies \frac{(\sqrt{12}-x)(\sqrt{12}+x)}{3x} < 0 \implies \frac{(2\sqrt{3}-x)(2\sqrt{3}+x)}{3x} < 0 $.
Нули: $x = \pm 2\sqrt{3}, x=0$. Все точки выколотые (неравенство строгое).

Решение первого неравенства: $ x \in (-2\sqrt{3}, 0) \cup (2\sqrt{3}, \infty) $.

Решим второе неравенство: $ \frac{9-4x}{5x-6} \le 1 $.
$ \frac{9-4x}{5x-6} - 1 \le 0 \implies \frac{9-4x - (5x-6)}{5x-6} \le 0 \implies \frac{15-9x}{5x-6} \le 0 $.
Нуль числителя: $x=15/9 = 5/3$ (закрашенный). Нуль знаменателя: $x=6/5$ (выколотый).
Отметим, что $6/5 = 1.2$ и $5/3 \approx 1.67$, поэтому $6/5 < 5/3$.

Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, 6/5) \cup [5/3, \infty) $.

Найдем пересечение решений: $ ((-2\sqrt{3}, 0) \cup (2\sqrt{3}, \infty)) \cap ((-\infty, 6/5) \cup [5/3, \infty)) $.
$2\sqrt{3} \approx 3.46$.
Пересечение $ (-2\sqrt{3}, 0) $ с $ (-\infty, 6/5) \cup [5/3, \infty) $ дает $ (-2\sqrt{3}, 0) $, так как $0 < 6/5$.
Пересечение $ (2\sqrt{3}, \infty) $ с $ (-\infty, 6/5) \cup [5/3, \infty) $ дает $ (2\sqrt{3}, \infty) $, так как $2\sqrt{3} > 5/3$.
Объединяя результаты, получаем решение системы: $ (-2\sqrt{3}, 0) \cup (2\sqrt{3}, \infty) $.
Ответ: $ (-2\sqrt{3}, 0) \cup (2\sqrt{3}, \infty) $.

20.12. 1)

$\begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x+2} \ge 0, \\ \frac{2x^2 - 7x + 8}{x^2 + 2} > 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x^2 - 9}{4-x} \ge 0, \\ \frac{2x^2 - 7x + 8}{x^2 - 4} > 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{x^2 - 9}{4-x} \ge 0, \\ \frac{2x^2 - 7x + 8}{x^2 - 4} < 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{x^2 - 16}{5-x} \ge 0, \\ \frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 - 8} \le 2. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0, \\ \frac{2x^2-7x+8}{x^2+2} > 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0 $.
Разложим числитель на множители: $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $.
Неравенство примет вид: $ \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} \ge 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $ x+2 \ne 0 \implies x \ne -2 $.
При $ x \ne -2 $ можно сократить дробь: $ x-2 \ge 0 \implies x \ge 2 $.
Учитывая ОДЗ, решение первого неравенства: $ x \in [2, \infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{2x^2-7x+8}{x^2+2} > 1 $.
Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{2x^2-7x+8}{x^2+2} - 1 > 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{2x^2-7x+8 - (x^2+2)}{x^2+2} > 0 $.
$ \frac{x^2-7x+6}{x^2+2} > 0 $.
Знаменатель $ x^2+2 $ всегда положителен, так как $ x^2 \ge 0 $, следовательно $ x^2+2 \ge 2 $.
Значит, знак дроби зависит только от знака числителя: $ x^2-7x+6 > 0 $.
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2-7x+6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1=1, x_2=6 $.
Парабола $ y=x^2-7x+6 $ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней.
Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ [2, \infty) \cap ((-\infty, 1) \cup (6, \infty)) $.
Пересечением является интервал $ (6, \infty) $.

Ответ: $ (6, \infty) $

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-9}{4-x} \ge 0, \\ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} > 2 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2-9}{4-x} \ge 0 $.
$ \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-4)} \ge 0 $.
Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $ \frac{(x-3)(x+3)}{x-4} \le 0 $.
Методом интервалов находим нули числителя $ x=3, x=-3 $ (включительно) и нуль знаменателя $ x=4 $ (исключительно).
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки на интервалах.
Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, -3] \cup [3, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} > 2 $.
$ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} - 2 > 0 \implies \frac{2x^2-7x+8 - 2(x^2-4)}{x^2-4} > 0 $.
$ \frac{2x^2-7x+8 - 2x^2+8}{x^2-4} > 0 \implies \frac{-7x+16}{x^2-4} > 0 $.
$ \frac{16-7x}{(x-2)(x+2)} > 0 $.
Нули числителя $ x=16/7 $ и знаменателя $ x=\pm 2 $. Все точки выколотые.
Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -2) \cup (2, 16/7) $. ($ 16/7 \approx 2.28 $)

3. Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -3] \cup [3, 4)) \cap ((-\infty, -2) \cup (2, 16/7)) $.
Пересечение $ (-\infty, -3] $ с $ (-\infty, -2) $ дает $ (-\infty, -3] $.
Интервал $ [3, 4) $ не пересекается с $ (-\infty, -2) \cup (2, 16/7) $, так как $ 3 > 16/7 $.
Итоговое решение: $ x \in (-\infty, -3] $.

Ответ: $ (-\infty, -3] $

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-9}{4-x} \ge 0, \\ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} < 1 \end{cases} $

1. Первое неравенство $ \frac{x^2-9}{4-x} \ge 0 $ совпадает с первым неравенством из задания 2).
Его решение: $ x \in (-\infty, -3] \cup [3, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} < 1 $.
$ \frac{2x^2-7x+8}{x^2-4} - 1 < 0 \implies \frac{2x^2-7x+8 - (x^2-4)}{x^2-4} < 0 $.
$ \frac{x^2-7x+12}{x^2-4} < 0 \implies \frac{(x-3)(x-4)}{(x-2)(x+2)} < 0 $.
Нули числителя $ x=3, x=4 $ и знаменателя $ x=\pm 2 $. Все точки выколотые.
Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-2, 2) \cup (3, 4) $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -3] \cup [3, 4)) \cap ((-2, 2) \cup (3, 4)) $.
Интервал $ (-\infty, -3] $ не пересекается с $ (-2, 2) \cup (3, 4) $.
Пересечение $ [3, 4) $ с $ (3, 4) $ дает $ (3, 4) $.
Итоговое решение: $ x \in (3, 4) $.

Ответ: $ (3, 4) $

4)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-16}{5-x} \ge 0, \\ \frac{x^2-7x-8}{x^2-8} \le 2 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2-16}{5-x} \ge 0 $.
$ \frac{(x-4)(x+4)}{-(x-5)} \ge 0 \implies \frac{(x-4)(x+4)}{x-5} \le 0 $.
Нули числителя $ x=4, x=-4 $ (включительно) и нуль знаменателя $ x=5 $ (исключительно).
Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -4] \cup [4, 5) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2-7x-8}{x^2-8} \le 2 $.
$ \frac{x^2-7x-8}{x^2-8} - 2 \le 0 \implies \frac{x^2-7x-8-2(x^2-8)}{x^2-8} \le 0 $.
$ \frac{x^2-7x-8-2x^2+16}{x^2-8} \le 0 \implies \frac{-x^2-7x+8}{x^2-8} \le 0 $.
Умножим на -1 и сменим знак: $ \frac{x^2+7x-8}{x^2-8} \ge 0 $.
$ \frac{(x+8)(x-1)}{(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})} \ge 0 $.
Нули числителя $ x=-8, x=1 $ (включительно) и знаменателя $ x=\pm 2\sqrt{2} $ (исключительно).
Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -8] \cup (-2\sqrt{2}, 1] \cup (2\sqrt{2}, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -4] \cup [4, 5)) \cap ((-\infty, -8] \cup (-2\sqrt{2}, 1] \cup (2\sqrt{2}, \infty)) $.
Пересечение $ (-\infty, -4] $ с $ (-\infty, -8] $ дает $ (-\infty, -8] $.
Пересечение $ [4, 5) $ с $ (2\sqrt{2}, \infty) $ (учитывая, что $ 4 = \sqrt{16} > \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $) дает $ [4, 5) $.
Итоговое решение: $ x \in (-\infty, -8] \cup [4, 5) $.

Ответ: $ (-\infty, -8] \cup [4, 5) $