Номер 20.8, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.8. При каких значениях переменной $x$ выполняется двойное не-равенство:

1) $0 \le x^2 - 4x < 5;$

2) $-2 < 3x^2 - 4x - 1 < 2;$

3) $2 \le 2x^2 - 5x + 2 < 4;$

4) $-2 \le x^2 - 4x < 5?$

1)Двойное неравенство $0 \le x^2 - 4x < 5$ равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 4x \ge 0 \\ x^2 - 4x < 5 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$x^2 - 4x \ge 0$
$x(x - 4) \ge 0$
Корни уравнения $x(x - 4) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2 - 4x < 5$
$x^2 - 4x - 5 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-1, 5)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$ и $(-1, 5)$.
Пересечение этих множеств дает нам $x \in (-1, 0] \cup [4, 5)$.
Ответ: $x \in (-1, 0] \cup [4, 5)$.

2)Двойное неравенство $-2 < 3x^2 - 4x - 1 < 2$ равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} 3x^2 - 4x - 1 > -2 \\ 3x^2 - 4x - 1 < 2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$3x^2 - 4x - 1 > -2$
$3x^2 - 4x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.
$x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{6}{6} = 1$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1/3) \cup (1, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$3x^2 - 4x - 1 < 2$
$3x^2 - 4x - 3 < 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 16 + 36 = 52$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (\frac{2 - \sqrt{13}}{3}, \frac{2 + \sqrt{13}}{3})$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, 1/3) \cup (1, +\infty)$ и $(\frac{2 - \sqrt{13}}{3}, \frac{2 + \sqrt{13}}{3})$.
Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $\frac{2-4}{3} < \frac{2 - \sqrt{13}}{3} < \frac{2-3}{3}$, то есть $-2/3 < \frac{2 - \sqrt{13}}{3} < -1/3$.
А $\frac{2+3}{3} < \frac{2 + \sqrt{13}}{3} < \frac{2+4}{3}$, то есть $5/3 < \frac{2 + \sqrt{13}}{3} < 2$.
Таким образом, искомое пересечение: $(\frac{2 - \sqrt{13}}{3}, 1/3) \cup (1, \frac{2 + \sqrt{13}}{3})$.
Ответ: $x \in (\frac{2 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{2 + \sqrt{13}}{3})$.

3)Двойное неравенство $2 \le 2x^2 - 5x + 2 < 4$ равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} 2x^2 - 5x + 2 \ge 2 \\ 2x^2 - 5x + 2 < 4 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2x^2 - 5x + 2 \ge 2$
$2x^2 - 5x \ge 0$
$x(2x - 5) \ge 0$
Корни уравнения $x(2x-5)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=5/2=2.5$. Парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [5/2, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$2x^2 - 5x + 2 < 4$
$2x^2 - 5x - 2 < 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 + 16 = 41$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{4}$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (\frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4})$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, 0] \cup [5/2, +\infty)$ и $(\frac{5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4})$.
Так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $\frac{5-7}{4} < \frac{5 - \sqrt{41}}{4} < \frac{5-6}{4}$, то есть $-1/2 < \frac{5 - \sqrt{41}}{4} < -1/4$.
А $\frac{5+6}{4} < \frac{5 + \sqrt{41}}{4} < \frac{5+7}{4}$, то есть $11/4 < \frac{5 + \sqrt{41}}{4} < 3$. $5/2 = 10/4$.
Таким образом, искомое пересечение: $(\frac{5 - \sqrt{41}}{4}, 0] \cup [5/2, \frac{5 + \sqrt{41}}{4})$.
Ответ: $x \in (\frac{5 - \sqrt{41}}{4}, 0] \cup [\frac{5}{2}, \frac{5 + \sqrt{41}}{4})$.

4)Двойное неравенство $-2 \le x^2 - 4x < 5$ равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 4x \ge -2 \\ x^2 - 4x < 5 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$x^2 - 4x \ge -2$
$x^2 - 4x + 2 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$x^2 - 4x < 5$
$x^2 - 4x - 5 < 0$
Это неравенство было решено в пункте 1). Его решение: $x \in (-1, 5)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, +\infty)$ и $(-1, 5)$.
Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0 < 2 - \sqrt{2} < 1$ и $3 < 2 + \sqrt{2} < 4$.
Интервал $(-1, 5)$ пересекается с $(-\infty, 2 - \sqrt{2}]$ на промежутке $(-1, 2 - \sqrt{2}]$.
Интервал $(-1, 5)$ пересекается с $[2 + \sqrt{2}, +\infty)$ на промежутке $[2 + \sqrt{2}, 5)$.
Объединяя эти два промежутка, получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in (-1, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, 5)$.