Номер 20.15, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.15. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{\sqrt{4-x^2}} - \frac{3}{\sqrt{3x+1}};$

2) $y = \frac{\sqrt{x^2-4x-5}}{\sqrt{9-4x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x+5}};$

3) $y = \frac{\sqrt{-x^2+4x+3}}{\sqrt{16-x^2}} - \frac{5}{\sqrt{5-3x}};$

4) $y = \frac{\sqrt{-3x^2+7x-4}}{\sqrt{25-x^2}} - \frac{7}{\sqrt{15-3x}}.$

1) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}{\sqrt{4 - x^2}} - \frac{3}{\sqrt{3x + 1}}$ находится из системы неравенств, которая учитывает, что подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, а подкоренные выражения в знаменателях — строго положительными:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ 4 - x^2 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $x^2 - 4x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

2. $4 - x^2 > 0 \implies x^2 < 4 \implies |x| < 2 \implies -2 < x < 2$. Решение: $x \in (-2, 2)$.

3. $3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -1/3$. Решение: $x \in (-1/3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $( (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) ) \cap (-2, 2) \cap (-1/3, +\infty)$.

Пересечение $(-2, 2)$ и $(-1/3, +\infty)$ дает интервал $(-1/3, 2)$.

Далее, пересечение $(-1/3, 2)$ с $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$ дает интервал $(-1/3, 1]$.

Ответ: $x \in (-1/3, 1]$.

2) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x - 5}}{\sqrt{9 - 4x^2}} - \frac{3}{\sqrt{2x + 5}}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x - 5 \ge 0 \\ 9 - 4x^2 > 0 \\ 2x + 5 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 4x - 5 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [5, +\infty)$.

2. $9 - 4x^2 > 0 \implies 4x^2 < 9 \implies x^2 < 9/4 \implies |x| < 3/2 \implies -1.5 < x < 1.5$. Решение: $x \in (-1.5, 1.5)$.

3. $2x + 5 > 0 \implies 2x > -5 \implies x > -2.5$. Решение: $x \in (-2.5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $( (-\infty, -1] \cup [5, +\infty) ) \cap (-1.5, 1.5) \cap (-2.5, +\infty)$.

Пересечение $(-1.5, 1.5)$ и $(-2.5, +\infty)$ дает интервал $(-1.5, 1.5)$.

Пересечение $(-1.5, 1.5)$ с $(-\infty, -1] \cup [5, +\infty)$ дает интервал $(-1.5, -1]$.

Ответ: $x \in (-1.5, -1]$.

3) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{-x^2 + 4x + 3}}{\sqrt{16 - x^2}} - \frac{5}{\sqrt{5 - 3x}}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} -x^2 + 4x + 3 \ge 0 \\ 16 - x^2 > 0 \\ 5 - 3x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $-x^2 + 4x + 3 \ge 0 \implies x^2 - 4x - 3 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 4(-3) = 28$. Корни $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$. Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 3$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 4x - 3 \le 0$ есть отрезок $[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$.

2. $16 - x^2 > 0 \implies x^2 < 16 \implies |x| < 4 \implies -4 < x < 4$. Решение: $x \in (-4, 4)$.

3. $5 - 3x > 0 \implies 5 > 3x \implies x < 5/3$. Решение: $x \in (-\infty, 5/3)$.

Найдем пересечение решений: $[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}] \cap (-4, 4) \cap (-\infty, 5/3)$.

Пересечение $(-4, 4)$ и $(-\infty, 5/3)$ дает интервал $(-4, 5/3)$.

Найдем пересечение $[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$ и $(-4, 5/3)$. Оценим значения: $\sqrt{7} \approx 2.65$, поэтому $2 - \sqrt{7} \approx -0.65$ и $5/3 \approx 1.67$. Так как $-4 < 2 - \sqrt{7}$ и $5/3 < 2 + \sqrt{7}$, то пересечением будет интервал $[2 - \sqrt{7}, 5/3)$.

Ответ: $x \in [2 - \sqrt{7}, 5/3)$.

4) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{-3x^2 + 7x - 4}}{\sqrt{25 - x^2}} - \frac{7}{\sqrt{15 - 3x}}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} -3x^2 + 7x - 4 \ge 0 \\ 25 - x^2 > 0 \\ 15 - 3x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $-3x^2 + 7x - 4 \ge 0 \implies 3x^2 - 7x + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = 49 - 4(3)(4) = 1$. Корни $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$, $x_2 = \frac{7+1}{6} = 4/3$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 7x + 4$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $3x^2 - 7x + 4 \le 0$ есть отрезок $[1, 4/3]$.

2. $25 - x^2 > 0 \implies x^2 < 25 \implies |x| < 5 \implies -5 < x < 5$. Решение: $x \in (-5, 5)$.

3. $15 - 3x > 0 \implies 15 > 3x \implies x < 5$. Решение: $x \in (-\infty, 5)$.

Найдем пересечение решений: $[1, 4/3] \cap (-5, 5) \cap (-\infty, 5)$.

Пересечение $(-5, 5)$ и $(-\infty, 5)$ дает интервал $(-5, 5)$.

Пересечение $[1, 4/3]$ с $(-5, 5)$. Так как $1$ и $4/3$ принадлежат интервалу $(-5, 5)$, то пересечением будет сам отрезок $[1, 4/3]$.

Ответ: $x \in [1, 4/3]$.