Номер 20.14, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.14. 1)

$\begin{cases}|x-2| \ge 4, \\\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} > 2;\end{cases}$

2)

$\begin{cases}|3x-2| \ge 5, \\\frac{3x^2-7x+8}{x^2-1} \le 2;\end{cases}$

3)

$\begin{cases}|x+3|<6, \\\frac{x^2-7x+8}{x^2-4}>1;\end{cases}$

4)

$\begin{cases}|x+5|<1, \\\frac{x^2-7x+8}{x^2-2}>2.\end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:$\begin{cases} |x-2| \ge 4 \\ \frac{x^2-5x+4}{x^2-4} > 2 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство: $|x-2| \ge 4$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x-2 \ge 4$ или $x-2 \le -4$.

$x \ge 6$ или $x \le -2$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} > 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} - 2 > 0$

$\frac{x^2-5x+4 - 2(x^2-4)}{x^2-4} > 0$

$\frac{x^2-5x+4 - 2x^2+8}{x^2-4} > 0$

$\frac{-x^2-5x+12}{x^2-4} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2+5x-12}{x^2-4} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.Корни числителя $x^2+5x-12=0$:$D = 5^2 - 4(1)(-12) = 25 + 48 = 73$.$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2}$.Корни знаменателя $x^2-4=0$: $x_3 = -2$, $x_4 = 2$.

Нанесем точки $\frac{-5-\sqrt{73}}{2}$, $-2$, $\frac{-5+\sqrt{73}}{2}$, $2$ на числовую ось и определим знаки выражения в интервалах.Точки в порядке возрастания: $\frac{-5-\sqrt{73}}{2} \approx -6.77$, $-2$, $\frac{-5+\sqrt{73}}{2} \approx 1.77$, $2$.Методом интервалов получаем, что неравенство $\frac{x^2+5x-12}{x^2-4} < 0$ выполняется при $x \in (\frac{-5-\sqrt{73}}{2}, -2) \cup (\frac{-5+\sqrt{73}}{2}, 2)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение 1: $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$.

Решение 2: $x \in (\frac{-5-\sqrt{73}}{2}, -2) \cup (\frac{-5+\sqrt{73}}{2}, 2)$.

Пересечение этих множеств: $(\frac{-5-\sqrt{73}}{2}, -2)$.

Ответ: $(\frac{-5-\sqrt{73}}{2}, -2)$.

2)

Решим систему неравенств:$\begin{cases} |3x-2| \ge 5 \\ \frac{3x^2-7x+8}{x^2-1} \le 2 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство: $|3x-2| \ge 5$.

Это неравенство равносильно совокупности:

$3x-2 \ge 5$ или $3x-2 \le -5$.

$3x \ge 7$ или $3x \le -3$.

$x \ge \frac{7}{3}$ или $x \le -1$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{3x^2-7x+8}{x^2-1} \le 2$.

$\frac{3x^2-7x+8}{x^2-1} - 2 \le 0$

$\frac{3x^2-7x+8 - 2(x^2-1)}{x^2-1} \le 0$

$\frac{3x^2-7x+8 - 2x^2+2}{x^2-1} \le 0$

$\frac{x^2-7x+10}{x^2-1} \le 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:$\frac{(x-2)(x-5)}{(x-1)(x+1)} \le 0$.

Корни числителя (включаются в решение): $x=2, x=5$.Корни знаменателя (не включаются в решение): $x=-1, x=1$.Методом интервалов находим решение: $x \in (-1, 1) \cup [2, 5]$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

Решение 2: $x \in (-1, 1) \cup [2, 5]$.

Пересечение множества $(-\infty, -1]$ с $(-1, 1) \cup [2, 5]$ пусто.Пересечение множества $[\frac{7}{3}, +\infty)$ с $(-1, 1) \cup [2, 5]$ есть $[\frac{7}{3}, 5]$.

Ответ: $[\frac{7}{3}, 5]$.

3)

Решим систему неравенств:$\begin{cases} |x+3| < 6 \\ \frac{x^2-7x+8}{x^2-4} > 1 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство: $|x+3| < 6$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-6 < x+3 < 6$

$-9 < x < 3$.

Решение первого неравенства: $x \in (-9, 3)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2-7x+8}{x^2-4} > 1$.

$\frac{x^2-7x+8}{x^2-4} - 1 > 0$

$\frac{x^2-7x+8 - (x^2-4)}{x^2-4} > 0$

$\frac{-7x+12}{x^2-4} > 0$

$\frac{7x-12}{x^2-4} < 0$

Разложим знаменатель на множители:$\frac{7x-12}{(x-2)(x+2)} < 0$.

Корни числителя: $x = \frac{12}{7}$.Корни знаменателя: $x = -2, x = 2$.Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{12}{7}, 2)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-9, 3)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{12}{7}, 2)$.

Пересечение $(-9, 3)$ и $(-\infty, -2)$ дает $(-9, -2)$.Пересечение $(-9, 3)$ и $(\frac{12}{7}, 2)$ дает $(\frac{12}{7}, 2)$.Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $(-9, -2) \cup (\frac{12}{7}, 2)$.

4)

Решим систему неравенств:$\begin{cases} |x+5| < 1 \\ \frac{x^2-7x+8}{x^2-2} > 2 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство: $|x+5| < 1$.

$-1 < x+5 < 1$

$-6 < x < -4$.

Решение первого неравенства: $x \in (-6, -4)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2-7x+8}{x^2-2} > 2$.

$\frac{x^2-7x+8}{x^2-2} - 2 > 0$

$\frac{x^2-7x+8 - 2(x^2-2)}{x^2-2} > 0$

$\frac{-x^2-7x+12}{x^2-2} > 0$

$\frac{x^2+7x-12}{x^2-2} < 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.Корни числителя $x^2+7x-12=0$:$D = 7^2 - 4(1)(-12) = 49 + 48 = 97$.$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2}$.Корни знаменателя $x^2-2=0$: $x_{3,4} = \pm\sqrt{2}$.

Нанесем точки $\frac{-7-\sqrt{97}}{2}$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$ на числовую ось.$\frac{-7-\sqrt{97}}{2} \approx -8.42$, $-\sqrt{2} \approx -1.41$, $\sqrt{2} \approx 1.41$, $\frac{-7+\sqrt{97}}{2} \approx 1.42$.Методом интервалов получаем решение: $x \in (\frac{-7-\sqrt{97}}{2}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \frac{-7+\sqrt{97}}{2})$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-6, -4)$.

Решение 2: $x \in (\frac{-7-\sqrt{97}}{2}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \frac{-7+\sqrt{97}}{2})$.

Интервал $(\sqrt{2}, \frac{-7+\sqrt{97}}{2})$ не имеет пересечения с $(-6, -4)$.Рассмотрим пересечение $(-6, -4)$ с $(\frac{-7-\sqrt{97}}{2}, -\sqrt{2})$.Так как $\frac{-7-\sqrt{97}}{2} \approx -8.42 < -6$ и $-\sqrt{2} \approx -1.41 > -4$, то интервал $(-6, -4)$ полностью содержится в интервале $(\frac{-7-\sqrt{97}}{2}, -\sqrt{2})$.Следовательно, их пересечение есть $(-6, -4)$.

Ответ: $(-6, -4)$.