Номер 20.11, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите системы неравенств (20.11–20.14):

20.11. 1) $ \begin{cases} \frac{4}{x} - \frac{x}{4} \ge 0, \\ \frac{3-2x}{x-2} > 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{2}{x} - \frac{x}{2} > 0, \\ \frac{5-2x}{3x-4} > 2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{3}{x} - \frac{x}{3} \le 0, \\ \frac{7-5x}{4x-5} \le 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{4}{x} - \frac{x}{3} < 0, \\ \frac{9-4x}{5x-6} \le 1. \end{cases} $

1)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\frac{4}{x} - \frac{x}{4} \ge 0, \\\frac{3-2x}{x-2} > 1\end{cases}$

Решим первое неравенство: $ \frac{4}{x} - \frac{x}{4} \ge 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{16 - x^2}{4x} \ge 0 $.
Разложим числитель на множители: $ \frac{(4-x)(4+x)}{4x} \ge 0 $.
Найдем нули числителя ($x=4, x=-4$) и знаменателя ($x=0$).
Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=4$ и $x=-4$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю. Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, -4] \cup (0, 4] $.

Решим второе неравенство: $ \frac{3-2x}{x-2} > 1 $.
Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{3-2x}{x-2} - 1 > 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{3-2x - (x-2)}{x-2} > 0 \implies \frac{5-3x}{x-2} > 0 $.
Найдем нули числителя ($x=5/3$) и знаменателя ($x=2$).
Отметим точки на числовой прямой. Обе точки будут выколотыми (неравенство строгое).

Выбираем интервал, где выражение больше нуля. Решение второго неравенства: $ x \in (5/3, 2) $.

Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -4] \cup (0, 4]) \cap (5/3, 2) $.
Поскольку $0 < 5/3$ и $2 < 4$, интервал $(5/3, 2)$ полностью содержится в интервале $(0, 4]$.
Следовательно, решение системы — это интервал $ (5/3, 2) $.
Ответ: $ (5/3, 2) $.

2)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\frac{2}{x} - \frac{x}{2} > 0, \\\frac{5-2x}{3x-4} > 2\end{cases}$

Решим первое неравенство: $ \frac{2}{x} - \frac{x}{2} > 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{4 - x^2}{2x} > 0 $.
Разложим числитель: $ \frac{(2-x)(2+x)}{2x} > 0 $.
Нули числителя: $x=2, x=-2$. Нуль знаменателя: $x=0$. Все точки выколотые (неравенство строгое).

Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2) $.

Решим второе неравенство: $ \frac{5-2x}{3x-4} > 2 $.
$ \frac{5-2x}{3x-4} - 2 > 0 \implies \frac{5-2x - 2(3x-4)}{3x-4} > 0 \implies \frac{5-2x - 6x + 8}{3x-4} > 0 \implies \frac{13-8x}{3x-4} > 0 $.
Нули числителя: $x=13/8$. Нуль знаменателя: $x=4/3$. Обе точки выколотые.
Отметим, что $4/3 \approx 1.33$ и $13/8 = 1.625$, поэтому $4/3 < 13/8$.

Решение второго неравенства: $ x \in (4/3, 13/8) $.

Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -2) \cup (0, 2)) \cap (4/3, 13/8) $.
Интервал $(4/3, 13/8)$ целиком лежит внутри интервала $(0, 2)$.
Следовательно, решение системы — это интервал $ (4/3, 13/8) $.
Ответ: $ (4/3, 13/8) $.

3)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\frac{3}{x} - \frac{x}{3} \le 0, \\\frac{7-5x}{4x-5} \le 2\end{cases}$

Решим первое неравенство: $ \frac{3}{x} - \frac{x}{3} \le 0 $.
$ \frac{9-x^2}{3x} \le 0 \implies \frac{(3-x)(3+x)}{3x} \le 0 $.
Нули числителя: $x=3, x=-3$ (закрашенные). Нуль знаменателя: $x=0$ (выколотый).

Решение первого неравенства: $ x \in [-3, 0) \cup [3, \infty) $.

Решим второе неравенство: $ \frac{7-5x}{4x-5} \le 2 $.
$ \frac{7-5x}{4x-5} - 2 \le 0 \implies \frac{7-5x - 2(4x-5)}{4x-5} \le 0 \implies \frac{17-13x}{4x-5} \le 0 $.
Нуль числителя: $x=17/13$ (закрашенный). Нуль знаменателя: $x=5/4$ (выколотый).
Отметим, что $5/4 = 1.25$ и $17/13 \approx 1.307$, поэтому $5/4 < 17/13$.

Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, 5/4) \cup [17/13, \infty) $.

Найдем пересечение решений: $ ([-3, 0) \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, 5/4) \cup [17/13, \infty)) $.
Пересечение интервала $ [-3, 0) $ с множеством $ (-\infty, 5/4) \cup [17/13, \infty) $ дает $ [-3, 0) $, так как $0 < 5/4$.
Пересечение интервала $ [3, \infty) $ с множеством $ (-\infty, 5/4) \cup [17/13, \infty) $ дает $ [3, \infty) $, так как $3 > 17/13$.
Объединяя результаты, получаем решение системы: $ [-3, 0) \cup [3, \infty) $.
Ответ: $ [-3, 0) \cup [3, \infty) $.

4)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\frac{4}{x} - \frac{x}{3} < 0, \\\frac{9-4x}{5x-6} \le 1\end{cases}$

Решим первое неравенство: $ \frac{4}{x} - \frac{x}{3} < 0 $.
$ \frac{12-x^2}{3x} < 0 \implies \frac{(\sqrt{12}-x)(\sqrt{12}+x)}{3x} < 0 \implies \frac{(2\sqrt{3}-x)(2\sqrt{3}+x)}{3x} < 0 $.
Нули: $x = \pm 2\sqrt{3}, x=0$. Все точки выколотые (неравенство строгое).

Решение первого неравенства: $ x \in (-2\sqrt{3}, 0) \cup (2\sqrt{3}, \infty) $.

Решим второе неравенство: $ \frac{9-4x}{5x-6} \le 1 $.
$ \frac{9-4x}{5x-6} - 1 \le 0 \implies \frac{9-4x - (5x-6)}{5x-6} \le 0 \implies \frac{15-9x}{5x-6} \le 0 $.
Нуль числителя: $x=15/9 = 5/3$ (закрашенный). Нуль знаменателя: $x=6/5$ (выколотый).
Отметим, что $6/5 = 1.2$ и $5/3 \approx 1.67$, поэтому $6/5 < 5/3$.

Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, 6/5) \cup [5/3, \infty) $.

Найдем пересечение решений: $ ((-2\sqrt{3}, 0) \cup (2\sqrt{3}, \infty)) \cap ((-\infty, 6/5) \cup [5/3, \infty)) $.
$2\sqrt{3} \approx 3.46$.
Пересечение $ (-2\sqrt{3}, 0) $ с $ (-\infty, 6/5) \cup [5/3, \infty) $ дает $ (-2\sqrt{3}, 0) $, так как $0 < 6/5$.
Пересечение $ (2\sqrt{3}, \infty) $ с $ (-\infty, 6/5) \cup [5/3, \infty) $ дает $ (2\sqrt{3}, \infty) $, так как $2\sqrt{3} > 5/3$.
Объединяя результаты, получаем решение системы: $ (-2\sqrt{3}, 0) \cup (2\sqrt{3}, \infty) $.
Ответ: $ (-2\sqrt{3}, 0) \cup (2\sqrt{3}, \infty) $.