Номер 20.5, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.5. 1) $\begin{cases} 9-7x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x \ge 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 32-5x-3x^2 < 0, \\ -3x^2+5x > -8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 10-3x-x^2 \ge 0, \\ 3x-5x^2 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 14-3x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x > 8; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 17-9x-8x^2 < 0, \\ 2,6x^2-3x > 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5,4-3,4x-2x^2 \ge 0, \\ -3x^2+7,5x > 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 9-7x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x \ge 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $9-7x-2x^2 < 0$. Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $2x^2+7x-9 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2+7x-9 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-7-11}{4} = -\frac{18}{4} = -4,5$; $x_2 = \frac{-7+11}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Так как ветви параболы $y=2x^2+7x-9$ направлены вверх, решение неравенства $2x^2+7x-9 > 0$ находится за пределами корней: $x \in (-\infty; -4,5) \cup (1; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $3x^2+5x \ge 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(3x+5) \ge 0$.

Корни уравнения $x(3x+5) = 0$ равны $x_1=0$ и $x_2 = -5/3$.

Ветви параболы $y=3x^2+5x$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $3x^2+5x \ge 0$ находится на корнях и за их пределами: $x \in (-\infty; -5/3] \cup [0; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty; -4,5) \cup (1; +\infty)$ и $(-\infty; -5/3] \cup [0; +\infty)$.

Пересечение множеств $(-\infty; -4,5)$ и $(-\infty; -5/3]$ дает интервал $(-\infty; -4,5)$.

Пересечение множеств $(1; +\infty)$ и $[0; +\infty)$ дает интервал $(1; +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $(-\infty; -4,5) \cup (1; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 32-5x-3x^2 < 0, \\ -3x^2+5x > -8; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $32-5x-3x^2 < 0$. Умножим на $-1$: $3x^2+5x-32 > 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2+5x-32 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 25 + 384 = 409$.

Корни: $x_1 = \frac{-5-\sqrt{409}}{6}$; $x_2 = \frac{-5+\sqrt{409}}{6}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{409}}{6}) \cup (\frac{-5+\sqrt{409}}{6}; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $-3x^2+5x > -8$, то есть $-3x^2+5x+8 > 0$. Умножим на $-1$: $3x^2-5x-8 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2-5x-8 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{5-11}{6} = -1$; $x_2 = \frac{5+11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in (-1; 8/3)$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty; \frac{-5-\sqrt{409}}{6}) \cup (\frac{-5+\sqrt{409}}{6}; +\infty)$ и $(-1; 8/3)$.

Оценим значения корней: $\sqrt{409} \approx 20.22$.

$\frac{-5-\sqrt{409}}{6} \approx \frac{-5-20.22}{6} \approx -4.2$, что меньше $-1$.

$\frac{-5+\sqrt{409}}{6} \approx \frac{-5+20.22}{6} \approx 2.54$, что находится между $-1$ и $8/3 \approx 2.67$.

Пересечением является интервал $(\frac{-5+\sqrt{409}}{6}; \frac{8}{3})$.

Ответ: $(\frac{-5+\sqrt{409}}{6}; \frac{8}{3})$.

3)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 10-3x-x^2 \ge 0, \\ 3x-5x^2 > 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $10-3x-x^2 \ge 0$. Умножим на $-1$: $x^2+3x-10 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2+3x-10=0$. По теореме Виета, корни $x_1=-5$ и $x_2=2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями, включая их: $x \in [-5; 2]$.

2. Решим второе неравенство $3x-5x^2 > 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(3-5x) > 0$.

Корни уравнения $x(3-5x)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=3/5$.

Ветви параболы $y=3x-5x^2$ направлены вниз, поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in (0; 3/5)$.

3. Найдем пересечение решений $[-5; 2]$ и $(0; 3/5)$.

Интервал $(0; 3/5)$ полностью содержится в отрезке $[-5; 2]$.

Ответ: $(0; 3/5)$.

4)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 14-3x-2x^2 < 0, \\ 3x^2+5x > 8; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $14-3x-2x^2 < 0$. Умножим на $-1$: $2x^2+3x-14 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2+3x-14=0$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9+112 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-3-11}{4} = -3,5$; $x_2 = \frac{-3+11}{4} = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; -3,5) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $3x^2+5x > 8$, или $3x^2+5x-8 > 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2+5x-8=0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25+96 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-5-11}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$; $x_2 = \frac{-5+11}{6} = 1$.

Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; -8/3) \cup (1; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty; -3,5) \cup (2; +\infty)$ и $(-\infty; -8/3) \cup (1; +\infty)$.

Так как $-3,5 < -8/3$ (т.е. $-3.5 < -2.66...$), пересечение $(-\infty; -3,5)$ и $(-\infty; -8/3)$ дает $(-\infty; -3,5)$.

Так как $2 > 1$, пересечение $(2; +\infty)$ и $(1; +\infty)$ дает $(2; +\infty)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $(-\infty; -3,5) \cup (2; +\infty)$.

5)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 17-9x-8x^2 < 0, \\ 2,6x^2-3x > 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $17-9x-8x^2 < 0$. Умножим на $-1$: $8x^2+9x-17 > 0$.

Найдем корни уравнения $8x^2+9x-17=0$. Сумма коэффициентов $8+9-17=0$, поэтому один корень $x_1=1$. Второй корень $x_2=c/a = -17/8$.

Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; -17/8) \cup (1; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $2,6x^2-3x > 0$. Умножим на 10, чтобы избавиться от дроби: $26x^2-30x>0$. Разделим на 2: $13x^2-15x>0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(13x-15) > 0$.

Корни: $x_1=0$ и $x_2=15/13$.

Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (15/13; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty; -17/8) \cup (1; +\infty)$ и $(-\infty; 0) \cup (15/13; +\infty)$.

Сравним числа: $-17/8 = -2,125 < 0$ и $15/13 \approx 1,15 > 1$.

Пересечение $(-\infty; -17/8)$ и $(-\infty; 0)$ дает $(-\infty; -17/8)$.

Пересечение $(1; +\infty)$ и $(15/13; +\infty)$ дает $(15/13; +\infty)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $(-\infty; -17/8) \cup (15/13; +\infty)$.

6)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5,4-3,4x-2x^2 \ge 0, \\ -3x^2+7,5x > 0. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $5,4-3,4x-2x^2 \ge 0$. Умножим на $-10$: $20x^2+34x-54 \le 0$. Разделим на 2: $10x^2+17x-27 \le 0$.

Найдем корни уравнения $10x^2+17x-27 = 0$. Сумма коэффициентов $10+17-27=0$, поэтому один корень $x_1=1$. Второй корень $x_2=c/a = -27/10 = -2,7$.

Ветви параболы направлены вверх, решение находится между корнями: $x \in [-2,7; 1]$.

2. Решим второе неравенство $-3x^2+7,5x > 0$. Умножим на $-1$: $3x^2-7,5x < 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(3x-7,5) < 0$.

Корни: $x_1=0$ и $x_2=7,5/3=2,5$.

Ветви параболы $y=3x^2-7,5x$ направлены вверх, решение находится между корнями: $x \in (0; 2,5)$.

3. Найдем пересечение решений $[-2,7; 1]$ и $(0; 2,5)$.

Пересечением является интервал $(0; 1]$.

Ответ: $(0; 1]$.