Номер 19.31, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.31.
1) Решите неравенство $x^2 + 4x - 2 \le 0$ и найдите сумму целых его решений, принадлежащих отрезку $[-3; 1]$;
2) решите неравенство $x^2 - 6x + 4 \le 0$ и найдите сумму целых его решений, принадлежащих отрезку $[-1; 4]$.

1) Сначала решим квадратное неравенство $x^2 + 4x - 2 \le 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$.

Таким образом, $x_1 = -2 - \sqrt{6}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{6}$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 + 4x - 2$ направлены вверх ($a=1>0$), решением неравенства является промежуток между корнями, включая сами корни: $[-2 - \sqrt{6}; -2 + \sqrt{6}]$.

Теперь оценим значения корней. Так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то:

$x_1 = -2 - \sqrt{6} \approx -2 - 2.45 = -4.45$.

$x_2 = -2 + \sqrt{6} \approx -2 + 2.45 = 0.45$.

Решением неравенства является промежуток примерно $[-4.45; 0.45]$.

Нам нужно найти целые решения, принадлежащие отрезку $[-3; 1]$. Это означает, что мы ищем целые числа $x$, которые удовлетворяют двум условиям: $x \in [-2 - \sqrt{6}; -2 + \sqrt{6}]$ и $x \in [-3; 1]$.

Найдем пересечение этих двух множеств. Целые числа, удовлетворяющие первому условию: $-4, -3, -2, -1, 0$. Целые числа, принадлежащие отрезку $[-3; 1]$: $-3, -2, -1, 0, 1$.

Общими для этих двух наборов являются целые числа: $-3, -2, -1, 0$.

Найдем их сумму:

$(-3) + (-2) + (-1) + 0 = -6$.

Ответ: -6.

2) Решим неравенство $x^2 - 6x + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.

Таким образом, $x_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 4$ направлены вверх ($a=1>0$), поэтому решением неравенства является промежуток $[3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}]$.

Оценим значения корней. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то:

$x_1 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76$.

$x_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24$.

Решением неравенства является промежуток примерно $[0.76; 5.24]$.

Нам нужно найти целые решения, принадлежащие отрезку $[-1; 4]$. Ищем целые числа $x$, которые удовлетворяют условиям $x \in [3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}]$ и $x \in [-1; 4]$.

Целые числа, удовлетворяющие первому условию: $1, 2, 3, 4, 5$. Целые числа, принадлежащие отрезку $[-1; 4]$: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Общими для этих двух наборов являются целые числа: $1, 2, 3, 4$.

Найдем их сумму:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Ответ: 10.