Вопросы, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что является решением системы нелинейных неравенств с одной переменной?

2. Сколько решений может иметь система нелинейных неравенств с одной переменной?

1. Что является решением системы нелинейных неравенств с одной переменной?
Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Нелинейное неравенство — это неравенство, в котором переменная входит в степени выше первой, находится под знаком корня, логарифма, тригонометрической функции и т.д.
Решением системы нелинейных неравенств с одной переменной называется такое значение этой переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.
Чтобы решить систему неравенств, необходимо:
1. Решить каждое неравенство системы по отдельности, найдя множество его решений (обычно это интервалы или объединения интервалов).
2. Найти пересечение (общую часть) множеств решений всех неравенств, входящих в систему. Это пересечение и будет множеством решений системы.
Например, рассмотрим систему:
$ \begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 1 \le 0 \end{cases} $
Решение первого неравенства $x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0$ есть объединение интервалов $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Решение второго неравенства $x - 1 \le 0$ есть интервал $(-\infty; 1]$.
Пересечением этих множеств является $(-\infty; -2)$. Это и есть решение системы.
Ответ: Решением системы нелинейных неравенств с одной переменной является множество всех значений переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. Это множество находится как пересечение множеств решений всех неравенств, входящих в систему.

2. Сколько решений может иметь система нелинейных неравенств с одной переменной?
Система нелинейных неравенств с одной переменной может иметь:
1. Ни одного решения (пустое множество). Это происходит, когда множества решений отдельных неравенств не имеют общих точек.
Пример: $ \begin{cases} x^2 < 1 \\ x^2 > 4 \end{cases} $
Решение первого неравенства: $x \in (-1, 1)$. Решение второго: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Эти множества не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.
2. Конечное число решений. Это возможно, когда пересечение множеств решений сводится к одной или нескольким изолированным точкам.
Пример: $ \begin{cases} x^2 \le 0 \\ x^3 \ge 0 \end{cases} $
Единственное решение первого неравенства $x^2 \le 0$ — это $x=0$. Это значение удовлетворяет и второму неравенству ($0^3 \ge 0$). Таким образом, система имеет ровно одно решение: $x=0$.
3. Бесконечное множество решений. Это самый частый случай, когда решением является один или несколько числовых промежутков (интервалы, отрезки, лучи) или их объединение.
Пример: $ \begin{cases} \frac{1}{x} > 1 \\ x^2 < 4 \end{cases} $
Решение первого неравенства $\frac{1-x}{x} > 0$ — это интервал $x \in (0, 1)$. Решение второго неравенства $x^2 < 4$ — это интервал $x \in (-2, 2)$. Пересечение этих множеств — интервал $(0, 1)$, который содержит бесконечное число решений.
Ответ: Система нелинейных неравенств с одной переменной может не иметь решений (0 решений), иметь конечное число решений (одно, два и т.д.) или иметь бесконечное множество решений.