Номер 20.2, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.2. 1)

$\begin{cases} x^2 \le 16, \\ x^2 > 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 \le 36, \\ (x-1)^2 > 9; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 \ge 6, \\ (x-2)^2 < 16; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 2x^2 > 32, \\ (x-2)^2 > 9; \end{cases}$

5)

$\begin{cases} x^2 > 18, \\ (x+3)^2 \le 25; \end{cases}$

6)

$\begin{cases} 2x^2 < 4,5, \\ (x+1)^2 \ge 9; \end{cases}$

7)

$\begin{cases} 3x^2 > 0,12, \\ (2x-1)^2 < 16; \end{cases}$

8)

$\begin{cases} 4x^2 \le 0,36, \\ (3x-5)^2 > 49. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 \le 16 \\ x^2 > 4 \end{cases} $.
Первое неравенство $x^2 \le 16$ равносильно $|x| \le 4$, что дает решение $x \in [-4, 4]$.
Второе неравенство $x^2 > 4$ равносильно $|x| > 2$, что дает решение $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Найдем пересечение этих двух множеств: $[-4, 4] \cap ((-\infty, -2) \cup (2, \infty))$.
Пересечение $[-4, 4]$ с $(-\infty, -2)$ дает интервал $[-4, -2)$.
Пересечение $[-4, 4]$ с $(2, \infty)$ дает интервал $(2, 4]$.
Объединив эти два интервала, получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in [-4, -2) \cup (2, 4]$.

2) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 \le 36 \\ (x-1)^2 > 9 \end{cases} $.
Первое неравенство $x^2 \le 36$ равносильно $|x| \le 6$, что дает $x \in [-6, 6]$.
Второе неравенство $(x-1)^2 > 9$ равносильно $|x-1| > 3$. Это распадается на два случая: $x-1 > 3$ или $x-1 < -3$. Отсюда получаем $x > 4$ или $x < -2$. Таким образом, $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
Найдем пересечение множеств $[-6, 6]$ и $((-\infty, -2) \cup (4, \infty))$.
Пересечение $[-6, 6]$ с $(-\infty, -2)$ дает $[-6, -2)$.
Пересечение $[-6, 6]$ с $(4, \infty)$ дает $(4, 6]$.
Объединяя эти интервалы, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [-6, -2) \cup (4, 6]$.

3) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 \ge 6 \\ (x-2)^2 < 16 \end{cases} $.
Первое неравенство $x^2 \ge 6$ равносильно $|x| \ge \sqrt{6}$, что дает $x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$.
Второе неравенство $(x-2)^2 < 16$ равносильно $|x-2| < 4$. Это эквивалентно $-4 < x-2 < 4$. Прибавив 2 ко всем частям, получаем $-2 < x < 6$, то есть $x \in (-2, 6)$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty))$ и $(-2, 6)$.
Поскольку $-\sqrt{6} \approx -2.45$, то $-\sqrt{6} < -2$. Таким образом, интервал $(-\infty, -\sqrt{6}]$ не пересекается с $(-2, 6)$.
Поскольку $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $-2 < \sqrt{6} < 6$. Пересечение $[\sqrt{6}, \infty)$ с $(-2, 6)$ дает интервал $[\sqrt{6}, 6)$.
Это и есть решение системы.
Ответ: $x \in [\sqrt{6}, 6)$.

4) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 2x^2 > 32 \\ (x-2)^2 > 9 \end{cases} $.
Из первого неравенства $2x^2 > 32$ следует $x^2 > 16$, что равносильно $|x| > 4$. Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.
Второе неравенство $(x-2)^2 > 9$ равносильно $|x-2| > 3$. Это дает два случая: $x-2 > 3$ (то есть $x > 5$) или $x-2 < -3$ (то есть $x < -1$). Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty, -4) \cup (4, \infty))$ и $((-\infty, -1) \cup (5, \infty))$.
Пересечение $(-\infty, -4)$ с $(-\infty, -1)$ есть $(-\infty, -4)$.
Пересечение $(4, \infty)$ с $(5, \infty)$ есть $(5, \infty)$.
Объединив эти результаты, получаем решение системы.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (5, \infty)$.

5) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 > 18 \\ (x+3)^2 \le 25 \end{cases} $.
Первое неравенство $x^2 > 18$ равносильно $|x| > \sqrt{18}$, или $|x| > 3\sqrt{2}$. Решение: $x \in (-\infty, -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}, \infty)$.
Второе неравенство $(x+3)^2 \le 25$ равносильно $|x+3| \le 5$. Это эквивалентно $-5 \le x+3 \le 5$. Вычитая 3 из всех частей, получаем $-8 \le x \le 2$, то есть $x \in [-8, 2]$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty, -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}, \infty))$ и $[-8, 2]$.
Так как $3\sqrt{2} \approx 4.24$, то $3\sqrt{2} > 2$, поэтому пересечение $(3\sqrt{2}, \infty)$ с $[-8, 2]$ пусто.
Так как $-3\sqrt{2} \approx -4.24$, то $-8 < -3\sqrt{2} < 2$. Пересечение $(-\infty, -3\sqrt{2})$ с $[-8, 2]$ дает интервал $[-8, -3\sqrt{2})$.
Это и есть решение системы.
Ответ: $x \in [-8, -3\sqrt{2})$.

6) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 2x^2 < 4.5 \\ (x+1)^2 \ge 9 \end{cases} $.
Первое неравенство $2x^2 < 4.5$ можно переписать как $x^2 < 2.25$. Это равносильно $|x| < 1.5$, то есть $-1.5 < x < 1.5$. Решение: $x \in (-1.5, 1.5)$.
Второе неравенство $(x+1)^2 \ge 9$ равносильно $|x+1| \ge 3$. Это дает два случая: $x+1 \ge 3$ (то есть $x \ge 2$) или $x+1 \le -3$ (то есть $x \le -4$). Решение: $x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
Найдем пересечение множеств $(-1.5, 1.5)$ и $((-\infty, -4] \cup [2, \infty))$.
Интервал $(-1.5, 1.5)$ не имеет общих точек ни с $(-\infty, -4]$, ни с $[2, \infty)$. Следовательно, пересечение пусто.
Ответ: $\emptyset$.

7) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 3x^2 > 0.12 \\ (2x-1)^2 < 16 \end{cases} $.
Из первого неравенства $3x^2 > 0.12$ следует $x^2 > 0.04$, что равносильно $|x| > 0.2$. Решение: $x \in (-\infty, -0.2) \cup (0.2, \infty)$.
Второе неравенство $(2x-1)^2 < 16$ равносильно $|2x-1| < 4$. Это эквивалентно $-4 < 2x-1 < 4$. Прибавляя 1, получаем $-3 < 2x < 5$. Разделив на 2, получаем $-1.5 < x < 2.5$. Решение: $x \in (-1.5, 2.5)$.
Найдем пересечение множеств $((-\infty, -0.2) \cup (0.2, \infty))$ и $(-1.5, 2.5)$.
Пересечение $(-\infty, -0.2)$ с $(-1.5, 2.5)$ дает $(-1.5, -0.2)$.
Пересечение $(0.2, \infty)$ с $(-1.5, 2.5)$ дает $(0.2, 2.5)$.
Объединяя эти интервалы, получаем решение системы.
Ответ: $x \in (-1.5, -0.2) \cup (0.2, 2.5)$.

8) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 4x^2 \le 0.36 \\ (3x-5)^2 > 49 \end{cases} $.
Из первого неравенства $4x^2 \le 0.36$ следует $x^2 \le 0.09$, что равносильно $|x| \le 0.3$. Решение: $x \in [-0.3, 0.3]$.
Второе неравенство $(3x-5)^2 > 49$ равносильно $|3x-5| > 7$. Это дает два случая: $3x-5 > 7$ (то есть $3x > 12$, $x > 4$) или $3x-5 < -7$ (то есть $3x < -2$, $x < -2/3$). Решение: $x \in (-\infty, -2/3) \cup (4, \infty)$.
Найдем пересечение множеств $[-0.3, 0.3]$ и $((-\infty, -2/3) \cup (4, \infty))$.
Так как $-2/3 \approx -0.67$, то $-0.3 > -2/3$. Интервал $[-0.3, 0.3]$ не пересекается с $(-\infty, -2/3)$.
Также очевидно, что $[-0.3, 0.3]$ не пересекается с $(4, \infty)$.
Следовательно, пересечение пусто.
Ответ: $\emptyset$.