Номер 20.9, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.9. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \geq 0, \\ 5x^2 - 3x - 2 < 0, \\ x^2 < 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - x - 6 < 0, \\ 4x^2 - 7x + 3 > 0, \\ x^2 < 9; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + 5x - 6 \geq 0, \\ 3x^2 - 7x + 4 \geq 0, \\ x^2 \geq 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 - 2x - 8 > 0, \\ 2x^2 - 7x + 5 \leq 0, \\ x^2 - 16 > 0. \end{cases}$

1) Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.
2. $5x^2 - 3x - 2 < 0$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$. Корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{10}$. Получаем $x_1 = \frac{3-7}{10} = -0.4$ и $x_2 = \frac{3+7}{10} = 1$. Ветви параболы $y = 5x^2 - 3x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-0.4, 1)$.
3. $x^2 < 4$. Это неравенство равносильно $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$. Решение: $x \in (-2, 2)$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств решений: $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$, $(-0.4, 1)$ и $(-2, 2)$.
Общим решением является интервал, удовлетворяющий всем трем условиям. Нанеся решения на числовую ось, видим, что пересечением всех трех множеств является интервал $(-0.4, 1)$.
Ответ: $x \in (-0.4, 1)$.

2) Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2 - x - 6 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы $y = x^2 - x - 6$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-2, 3)$.
2. $4x^2 - 7x + 3 > 0$. Найдем корни уравнения $4x^2 - 7x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{8}$. Получаем $x_1 = \frac{7-1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ и $x_2 = \frac{7+1}{8} = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 3/4) \cup (1, \infty)$.
3. $x^2 < 9$. Это неравенство равносильно $|x| < 3$, то есть $-3 < x < 3$. Решение: $x \in (-3, 3)$.
Найдем пересечение решений: $(-2, 3)$, $(-\infty, 3/4) \cup (1, \infty)$ и $(-3, 3)$.
Пересечение первого и третьего интервалов дает $(-2, 3)$. Теперь пересечем этот результат со вторым решением: $(-2, 3) \cap ((-\infty, 3/4) \cup (1, \infty))$. Это дает объединение двух интервалов: $(-2, 3/4) \cup (1, 3)$.
Ответ: $x \in (-2, 3/4) \cup (1, 3)$.

3) Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty)$.
2. $3x^2 - 7x + 4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{6}$. Получаем $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4/3, \infty)$.
3. $x^2 \ge 1$. Это неравенство равносильно $|x| \ge 1$, то есть $x \le -1$ или $x \ge 1$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Найдем пересечение трех множеств решений: $((-\infty, -6] \cup [1, \infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup [4/3, \infty)) \cap ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$.
Рассмотрим пересечение на двух участках: для $x \le -1$ и для $x \ge 1$.
- При $x \le -1$: пересечение $(-\infty, -6]$, $(-\infty, 1]$ и $(-\infty, -1]$ дает $(-\infty, -6]$.
- При $x \ge 1$: пересечение $[1, \infty)$, $(-\infty, 1] \cup [4/3, \infty)$ и $[1, \infty)$ дает точку $\{1\}$ и интервал $[4/3, \infty)$.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup \{1\} \cup [4/3, \infty)$.

4) Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2 - 2x - 8 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
2. $2x^2 - 7x + 5 \le 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4}$. Получаем $x_1 = \frac{7-3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [1, 2.5]$.
3. $x^2 - 16 > 0$. Это равносильно $x^2 > 16$ или $|x| > 4$. Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2) \cup (4, \infty))$, $[1, 2.5]$ и $((-\infty, -4) \cup (4, \infty))$.
Интервал $[1, 2.5]$ не имеет общих точек ни с интервалом $(-\infty, -2)$, ни с интервалом $(4, \infty)$. Также он не пересекается с множеством $(-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.
Следовательно, пересечение всех трех множеств пусто.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).