Номер 20.10, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.10. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{4x-2}{5-x}} + \sqrt{2x^2+7x+5} + \frac{1}{2x}$;

2) $y = \sqrt{\frac{3x-5}{4-x}} + \sqrt{3x^2+7x+4} + \frac{1}{2x-1}$;

3) $y = \sqrt{\frac{7-2x}{3-x}} + \sqrt{-3x^2+7x-4} + \frac{1}{4x-1}$;

4) $y = \sqrt{\frac{1-3x}{6-4x}} + \sqrt{x^2+5x+4} + \frac{1}{2-x}$.

1)

Функция $y = \sqrt{\frac{4x-2}{5-x}} + \sqrt{2x^2+7x+5} + \frac{1}{2x}$ определена, если все три слагаемых определены. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \frac{4x-2}{5-x} \ge 0, \\ 2x^2+7x+5 \ge 0, \\ 2x \ne 0. \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $\frac{4x-2}{5-x} \ge 0$. Нули числителя: $4x-2=0 \implies x=0.5$. Нули знаменателя: $5-x=0 \implies x=5$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in [0.5, 5)$.

2. $2x^2+7x+5 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2+7x+5=0$. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$. Корни: $x_1 = \frac{-7-3}{4} = -2.5$ и $x_2 = \frac{-7+3}{4} = -1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2.5] \cup [-1, +\infty)$.

3. $2x \ne 0 \implies x \ne 0$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $x \in [0.5, 5) \cap ((-\infty, -2.5] \cup [-1, +\infty)) \cap \{x \ne 0\}$. Интервал $[0.5, 5)$ полностью содержится в интервале $[-1, +\infty)$ и не содержит точку $x=0$. Следовательно, область определения функции есть пересечение этих множеств, что дает $[0.5, 5)$.

Ответ: $x \in [0.5, 5)$.

2)

Функция $y = \sqrt{\frac{3x-5}{4-x}} + \sqrt{3x^2+7x+4} + \frac{1}{2x-1}$ определена, если выполняются условия:

$\begin{cases} \frac{3x-5}{4-x} \ge 0, \\ 3x^2+7x+4 \ge 0, \\ 2x-1 \ne 0. \end{cases}$

1. $\frac{3x-5}{4-x} \ge 0$. Нули числителя: $3x-5=0 \implies x=5/3$. Нули знаменателя: $4-x=0 \implies x=4$. Методом интервалов получаем $x \in [5/3, 4)$.

2. $3x^2+7x+4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $3x^2+7x+4=0$. $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 = 1^2$. Корни: $x_1 = \frac{-7-1}{6} = -4/3$ и $x_2 = \frac{-7+1}{6} = -1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому $x \in (-\infty, -4/3] \cup [-1, +\infty)$.

3. $2x-1 \ne 0 \implies x \ne 0.5$.

Найдем пересечение: $x \in [5/3, 4) \cap ((-\infty, -4/3] \cup [-1, +\infty)) \cap \{x \ne 0.5\}$. Интервал $[5/3, 4)$ (приблизительно $[1.67, 4)$) полностью содержится в $[-1, +\infty)$ и не содержит точку $x=0.5$. Таким образом, область определения функции: $x \in [5/3, 4)$.

Ответ: $x \in [5/3, 4)$.

3)

Функция $y = \sqrt{\frac{7-2x}{3-x}} + \sqrt{-3x^2+7x-4} + \frac{1}{4x-1}$ определена, если:

$\begin{cases} \frac{7-2x}{3-x} \ge 0, \\ -3x^2+7x-4 \ge 0, \\ 4x-1 \ne 0. \end{cases}$

1. $\frac{7-2x}{3-x} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2x-7}{x-3} \ge 0$. Нули числителя: $2x-7=0 \implies x=3.5$. Нули знаменателя: $x-3=0 \implies x=3$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, 3) \cup [3.5, +\infty)$.

2. $-3x^2+7x-4 \ge 0 \Leftrightarrow 3x^2-7x+4 \le 0$. Найдем корни уравнения $3x^2-7x+4=0$. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 = 1^2$. Корни: $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7+1}{6} = 4/3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $x \in [1, 4/3]$.

3. $4x-1 \ne 0 \implies x \ne 1/4$.

Найдем пересечение: $x \in ((-\infty, 3) \cup [3.5, +\infty)) \cap [1, 4/3] \cap \{x \ne 1/4\}$. Интервал $[1, 4/3]$ (приблизительно $[1, 1.33]$) полностью содержится в интервале $(-\infty, 3)$. Точка $x=1/4$ не входит в этот интервал. Следовательно, область определения: $x \in [1, 4/3]$.

Ответ: $x \in [1, 4/3]$.

4)

Функция $y = \sqrt{\frac{1-3x}{6-4x}} + \sqrt{x^2+5x+4} + \frac{1}{2-x}$ определена, если:

$\begin{cases} \frac{1-3x}{6-4x} \ge 0, \\ x^2+5x+4 \ge 0, \\ 2-x \ne 0. \end{cases}$

1. $\frac{1-3x}{6-4x} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{3x-1}{4x-6} \ge 0$. Нули числителя: $3x-1=0 \implies x=1/3$. Нули знаменателя: $4x-6=0 \implies x=3/2=1.5$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, 1/3] \cup (1.5, +\infty)$.

2. $x^2+5x+4 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+5x+4=0$ по теореме Виета $x_1=-4$ и $x_2=-1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)$.

3. $2-x \ne 0 \implies x \ne 2$.

Найдем пересечение множеств $((-\infty, 1/3] \cup (1.5, +\infty))$ и $((-\infty, -4] \cup [-1, +\infty))$. Пересечение $(-\infty, 1/3]$ с вторым множеством дает $(-\infty, -4] \cup [-1, 1/3]$. Пересечение $(1.5, +\infty)$ с вторым множеством дает $(1.5, +\infty)$. Объединяя результаты, получаем $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 1/3] \cup (1.5, +\infty)$. Теперь учтем условие $x \ne 2$. Точка $x=2$ находится в интервале $(1.5, +\infty)$, поэтому ее нужно исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 1/3] \cup (1.5, 2) \cup (2, +\infty)$.