Номер 20.16, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.16. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств:

1)

$\begin{cases} x^2 - 2x - 8 \leq 2, \\ (x-3)(x+1) > 0, \\ |x - 0.2| > 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - 2x - 6 < 2, \\ (2x-3)(x+4) > 0, \\ |x - 1.2| \leq 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 - 4x - 11 \leq 1, \\ (x-2)(3x-1) \geq 0, \\ |3x - 0.2| > 3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 - 5x + 8 > 2, \\ (x-4)(x+1) < 0, \\ |x - 0.2| \leq 4. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 8 \le 2 \\ (x-3)(x+1) > 0 \\ |x - 0.2| > 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 8 \le 2$.

Перенесем 2 в левую часть: $x^2 - 2x - 10 \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 10$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [1 - \sqrt{11}, 1 + \sqrt{11}]$.

2. Решим второе неравенство: $(x-3)(x+1) > 0$.

Корнями выражения являются $x=-1$ и $x=3$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

3. Решим третье неравенство: $|x - 0.2| > 1$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x - 0.2 > 1$ или $x - 0.2 < -1$.

Отсюда $x > 1.2$ или $x < -0.8$.

Решением является $x \in (-\infty, -0.8) \cup (1.2, \infty)$.

4. Найдем пересечение решений всех трех неравенств.

Решение 1: $x \in [1 - \sqrt{11}, 1 + \sqrt{11}]$. (Приближенно $x \in [-2.32, 4.32]$).

Решение 2: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Решение 3: $x \in (-\infty, -0.8) \cup (1.2, \infty)$.

Пересекая все три множества, получаем: $x \in [1 - \sqrt{11}, -1) \cup (3, 1 + \sqrt{11}]$.

Оценим интервалы: $[1 - 3.32, -1) \cup (3, 1 + 3.32] \Rightarrow [-2.32, -1) \cup (3, 4.32]$.

Целые числа в первом интервале: -2. Целые числа во втором интервале: 4.

Множество целых решений системы: $\{-2, 4\}$. Наименьшее из них -2.

Ответ: -2

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 6 < 2 \\ (2x-3)(x+4) > 0 \\ |x - 1.2| \le 2 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 6 < 2$.

$x^2 - 2x - 8 < 0$.

Разложим на множители: $(x-4)(x+2) < 0$. Корни: $x=4$ и $x=-2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями: $x \in (-2, 4)$.

2. Решим второе неравенство: $(2x-3)(x+4) > 0$.

Корни: $x=1.5$ и $x=-4$. Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, -4) \cup (1.5, \infty)$.

3. Решим третье неравенство: $|x - 1.2| \le 2$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-2 \le x - 1.2 \le 2$.

Прибавим 1.2 ко всем частям: $-2+1.2 \le x \le 2+1.2$, что дает $-0.8 \le x \le 3.2$.

Решение: $x \in [-0.8, 3.2]$.

4. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-2, 4)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -4) \cup (1.5, \infty)$.

Решение 3: $x \in [-0.8, 3.2]$.

Пересечение $(-2, 4) \cap [-0.8, 3.2]$ дает $[-0.8, 3.2]$.

Теперь пересечем полученный интервал с решением второго неравенства: $[-0.8, 3.2] \cap ((-\infty, -4) \cup (1.5, \infty))$.

Это дает итоговый интервал: $(1.5, 3.2]$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 2, 3. Наименьшее из них 2.

Ответ: 2

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 4x - 11 \le 1 \\ (x-2)(3x-1) \ge 0 \\ |3x - 0.2| > 3 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 11 \le 1$.

$x^2 - 4x - 12 \le 0$.

Разложим на множители: $(x-6)(x+2) \le 0$. Корни: $x=6$ и $x=-2$.

Решение: $x \in [-2, 6]$.

2. Решим второе неравенство: $(x-2)(3x-1) \ge 0$.

Корни: $x=2$ и $x=1/3$. Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, 1/3] \cup [2, \infty)$.

3. Решим третье неравенство: $|3x - 0.2| > 3$.

Это равносильно совокупности:

$3x - 0.2 > 3$ или $3x - 0.2 < -3$.

$3x > 3.2$ или $3x < -2.8$.

$x > 3.2/3$ или $x < -2.8/3$. (Приближенно $x > 1.07$ или $x < -0.93$).

Решение: $x \in (-\infty, -2.8/3) \cup (3.2/3, \infty)$.

4. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in [-2, 6]$.

Решение 2: $x \in (-\infty, 1/3] \cup [2, \infty)$.

Решение 3: $x \in (-\infty, -2.8/3) \cup (3.2/3, \infty)$.

Пересечение (1) и (2) дает: $[-2, 1/3] \cup [2, 6]$.

Теперь пересечем результат с (3):

$( [-2, 1/3] \cup [2, 6] ) \cap ( (-\infty, -2.8/3) \cup (3.2/3, \infty) )$.

Это дает: $[-2, -2.8/3) \cup [2, 6]$.

Оценим интервалы: $[-2, -0.93...) \cup [2, 6]$.

Целые числа в первом интервале: -2, -1. Целые числа во втором интервале: 2, 3, 4, 5, 6.

Множество целых решений: $\{-2, -1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Наименьшее из них -2.

Ответ: -2

4) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 8 > 2 \\ (x-4)(x+1) < 0 \\ |x - 0.2| \le 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 8 > 2$.

$x^2 - 5x + 6 > 0$.

Разложим на множители: $(x-2)(x-3) > 0$. Корни: $x=2$ и $x=3$.

Решение: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x-4)(x+1) < 0$.

Корни: $x=4$ и $x=-1$. Решение находится между корнями: $x \in (-1, 4)$.

3. Решим третье неравенство: $|x - 0.2| \le 4$.

$-4 \le x - 0.2 \le 4$.

$-3.8 \le x \le 4.2$.

Решение: $x \in [-3.8, 4.2]$.

4. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Решение 2: $x \in (-1, 4)$.

Решение 3: $x \in [-3.8, 4.2]$.

Пересечение (2) и (3) дает: $(-1, 4) \cap [-3.8, 4.2] = (-1, 4)$.

Теперь пересечем результат с (1):

$(-1, 4) \cap ( (-\infty, 2) \cup (3, \infty) )$.

Это дает: $(-1, 2) \cup (3, 4)$.

Целые числа в первом интервале: 0, 1. Во втором интервале целых чисел нет.

Множество целых решений: $\{0, 1\}$. Наименьшее из них 0.

Ответ: 0