Номер 20.13, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1, \\ \frac{x^2 - 5x - 4}{x^2 - 4} > 1; \end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2 - 9}{5 - 2x} < 1, \\ \frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 1} \ge 1; \end{matrix}\right.$

3) $\left\{\begin{matrix} \frac{2x^2 - 9}{3 - x} \ge 2, \\ \frac{x^2 - 5x - 4}{1 - x^2} \le 2; \end{matrix}\right.$

4) $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1, \\ \frac{x^2 - 3x - 14}{x^2 - 4} < 3. \end{matrix}\right.$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1 \\ \frac{x^2 - 5x - 4}{x^2 - 4} > 1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1 $.

$ \frac{x^2 - 9}{4 - x} - 1 \ge 0 $
$ \frac{x^2 - 9 - (4 - x)}{4 - x} \ge 0 $
$ \frac{x^2 + x - 13}{4 - x} \ge 0 $

Найдем корни числителя $ x^2 + x - 13 = 0 $ с помощью дискриминанта: $ D = 1^2 - 4(1)(-13) = 53 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{53}}{2} $.Корень знаменателя $ 4 - x = 0 \implies x = 4 $.Нанесем точки $ \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} $, $ \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} $, $ 4 $ на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах.Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{53}}{2}, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2 - 5x - 4}{x^2 - 4} > 1 $.

$ \frac{x^2 - 5x - 4}{x^2 - 4} - 1 > 0 $
$ \frac{x^2 - 5x - 4 - (x^2 - 4)}{x^2 - 4} > 0 $
$ \frac{-5x}{x^2 - 4} > 0 $

Умножим на -1, изменив знак неравенства:$ \frac{5x}{x^2 - 4} < 0 \implies \frac{5x}{(x-2)(x+2)} < 0 $.Корни: $ x=0, x=2, x=-2 $.Применяя метод интервалов, получаем решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2) $.

3. Найдем пересечение решений двух неравенств.Приближенные значения корней: $ \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} \approx -4.14 $ и $ \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} \approx 3.14 $.Решение 1: $ x \in (-\infty, -4.14] \cup [3.14, 4) $.Решение 2: $ x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2) $.Пересечением этих множеств является интервал $ (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] $.

Ответ: $ (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] $.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{5 - 2x} < 1 \\ \frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 1} \ge 1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2 - 9}{5 - 2x} < 1 $.

$ \frac{x^2 - 9}{5 - 2x} - 1 < 0 $
$ \frac{x^2 - 9 - (5 - 2x)}{5 - 2x} < 0 $
$ \frac{x^2 + 2x - 14}{5 - 2x} < 0 $

Корни числителя $ x^2 + 2x - 14 = 0 $: $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-14)}}{2} = -1 \pm \sqrt{15} $.Корень знаменателя $ 5 - 2x = 0 \implies x = 2.5 $.Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-1 - \sqrt{15}, 2.5) \cup (-1 + \sqrt{15}, +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 1} \ge 1 $.

$ \frac{2x^2 - 5x - 3 - (x^2 - 1)}{x^2 - 1} \ge 0 $
$ \frac{x^2 - 5x - 2}{x^2 - 1} \ge 0 $

Корни числителя $ x^2 - 5x - 2 = 0 $: $ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(-2)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} $.Корни знаменателя $ x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 $.Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{5 - \sqrt{33}}{2}, 1) \cup [\frac{5 + \sqrt{33}}{2}, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений.Приближенные значения: $ -1 - \sqrt{15} \approx -4.87 $, $ -1 + \sqrt{15} \approx 2.87 $, $ \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \approx -0.37 $, $ \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \approx 5.37 $.Решение 1: $ x \in (-4.87, 2.5) \cup (2.87, +\infty) $.Решение 2: $ x \in (-\infty, -1) \cup [-0.37, 1) \cup [5.37, +\infty) $.Пересечение множеств: $ x \in (-1-\sqrt{15}, -1) \cup [\frac{5 - \sqrt{33}}{2}, 1) \cup [\frac{5 + \sqrt{33}}{2}, +\infty) $.

Ответ: $ (-1-\sqrt{15}, -1) \cup [\frac{5 - \sqrt{33}}{2}, 1) \cup [\frac{5 + \sqrt{33}}{2}, +\infty) $.

3)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{2x^2 - 9}{3 - x} \ge 2 \\ \frac{x^2 - 5x - 4}{1 - x^2} \le 2 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \frac{2x^2 - 9}{3 - x} \ge 2 $.

$ \frac{2x^2 - 9 - 2(3 - x)}{3 - x} \ge 0 $
$ \frac{2x^2 + 2x - 15}{3 - x} \ge 0 $

Корни числителя $ 2x^2 + 2x - 15 = 0 $: $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-15)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{31}}{2} $.Корень знаменателя $ 3 - x = 0 \implies x = 3 $.Методом интервалов: $ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{31}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{31}}{2}, 3) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2 - 5x - 4}{1 - x^2} \le 2 $.

$ \frac{x^2 - 5x - 4 - 2(1 - x^2)}{1 - x^2} \le 0 $
$ \frac{3x^2 - 5x - 6}{1 - x^2} \le 0 $

Корни числителя $ 3x^2 - 5x - 6 = 0 $: $ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(3)(-6)}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{97}}{6} $.Корни знаменателя $ 1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1 $.Методом интервалов: $ x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{5 - \sqrt{97}}{6}, 1) \cup [\frac{5 + \sqrt{97}}{6}, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений.Приближенные значения: $ \frac{-1 - \sqrt{31}}{2} \approx -3.28 $, $ \frac{-1 + \sqrt{31}}{2} \approx 2.28 $, $ \frac{5 + \sqrt{97}}{6} \approx 2.48 $.Решение 1: $ x \in (-\infty, -3.28] \cup [2.28, 3) $.Решение 2: $ x \in (-\infty, -1) \cup [-0.81, 1) \cup [2.48, +\infty) $.Пересечение: $ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{31}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{97}}{6}, 3) $.

Ответ: $ (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{31}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{97}}{6}, 3) $.

4)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1 \\ \frac{x^2 - 3x - 14}{x^2 - 4} < 3 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2 - 9}{4 - x} \ge 1 $.Это неравенство совпадает с первым неравенством из пункта 1). Его решение:$ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{53}}{2}, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2 - 3x - 14}{x^2 - 4} < 3 $.

$ \frac{x^2 - 3x - 14 - 3(x^2 - 4)}{x^2 - 4} < 0 $
$ \frac{x^2 - 3x - 14 - 3x^2 + 12}{x^2 - 4} < 0 $
$ \frac{-2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 4} < 0 $

Умножим на -1, изменив знак неравенства:$ \frac{2x^2 + 3x + 2}{x^2 - 4} > 0 $.

Рассмотрим числитель $ 2x^2 + 3x + 2 $. Его дискриминант $ D = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0 $. Так как старший коэффициент $ 2 > 0 $, числитель всегда положителен.Следовательно, неравенство равносильно $ x^2 - 4 > 0 $.$ (x-2)(x+2) > 0 $.Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений.Решение 1: $ x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{53}}{2}, 4) $.Решение 2: $ x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $.Так как $ \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} \approx -4.14 < -2 $ и $ \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} \approx 3.14 > 2 $, то множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго неравенства.Следовательно, пересечение совпадает с решением первого неравенства.

Ответ: $ (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{53}}{2}, 4) $.