Номер 20.19, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.19. Решите систему неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

1) ${ \begin{cases} x^2 - 4x + 2 \ge -1, \\ x^2 - |x| \le 0; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} x^2 - 2x - 5 \ge 10, \\ x^2 + |x| - 6 > 0; \end{cases} }$

3) ${ \begin{cases} -x^2 - 4x + 2 < -6, \\ x^2 - 2|x| - 24 \le 0; \end{cases} }$

4) ${ \begin{cases} 3x^2 - 4x \ge -1, \\ x^2 - |x| - 6 \le 0. \end{cases} }$

1) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 4x + 2 \ge -1 \\ x^2 - |x| \le 0 \end{cases} $.

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 2 \ge -1$.

Перенесем -1 в левую часть: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 4x + 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 - |x| \le 0$.

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать неравенство как $|x|^2 - |x| \le 0$.

Введем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Неравенство принимает вид $t^2 - t \le 0$, или $t(t-1) \le 0$.

Решением этого неравенства для переменной $t$ является отрезок $[0, 1]$.

Вернемся к переменной $x$: $0 \le |x| \le 1$. Это неравенство равносильно $-1 \le x \le 1$.

Решением второго неравенства является множество $x \in [-1, 1]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $( (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) ) \cap [-1, 1]$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

2) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 2x - 5 \ge 10 \\ x^2 + |x| - 6 > 0 \end{cases} $.

Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 5 \ge 10$.

Перенесем 10 в левую часть: $x^2 - 2x - 15 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 15$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + |x| - 6 > 0$.

Используя замену $t = |x|$ ($t \ge 0$), получим $t^2 + t - 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Парабола $y = t^2 + t - 6$ имеет ветви вверх, поэтому решение неравенства: $t < -3$ или $t > 2$.

Так как $t = |x| \ge 0$, условие $t < -3$ не имеет решений. Остается $t > 2$.

Возвращаясь к $x$, получаем $|x| > 2$, что равносильно $x < -2$ или $x > 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $( (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) ) \cap ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) )$.

Пересечением является объединение интервалов $(-\infty, -3]$ и $[5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.

3) Решим систему неравенств $ \begin{cases} -x^2 - 4x + 2 < -6 \\ x^2 - 2|x| - 24 \le 0 \end{cases} $.

Решим первое неравенство: $-x^2 - 4x + 2 < -6$.

$-x^2 - 4x + 8 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 + 4x - 8 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = 4^2 - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{3}$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 8$ ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2 - 2\sqrt{3}) \cup (-2 + 2\sqrt{3}, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 2|x| - 24 \le 0$.

Сделаем замену $t = |x|$ ($t \ge 0$), получим $t^2 - 2t - 24 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 24 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 6$ и $t_2 = -4$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 24$ ветвями вверх, поэтому решение: $-4 \le t \le 6$.

С учетом $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 6$.

Возвращаясь к $x$, имеем $0 \le |x| \le 6$, что эквивалентно $-6 \le x \le 6$.

Решение второго неравенства: $x \in [-6, 6]$.

Найдем пересечение решений: $( (-\infty, -2 - 2\sqrt{3}) \cup (-2 + 2\sqrt{3}, +\infty) ) \cap [-6, 6]$.

Это пересечение дает нам два интервала: $[-6, -2 - 2\sqrt{3})$ и $(-2 + 2\sqrt{3}, 6]$.

Ответ: $[-6, -2-2\sqrt{3}) \cup (-2+2\sqrt{3}, 6]$.

4) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 3x^2 - 4x \ge -1 \\ x^2 - |x| - 6 \le 0 \end{cases} $.

Решим первое неравенство: $3x^2 - 4x \ge -1$.

$3x^2 - 4x + 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4$.

Корни: $x_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{4 + 2}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 - 4x + 1$ ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1/3] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - |x| - 6 \le 0$.

Сделаем замену $t = |x|$ ($t \ge 0$), получим $t^2 - t - 6 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, поэтому решение: $-2 \le t \le 3$.

С учетом $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 3$.

Возвращаясь к $x$, имеем $0 \le |x| \le 3$, что эквивалентно $-3 \le x \le 3$.

Решение второго неравенства: $x \in [-3, 3]$.

Найдем пересечение решений: $( (-\infty, 1/3] \cup [1, +\infty) ) \cap [-3, 3]$.

Пересечение дает объединение отрезков: $[-3, 1/3] \cup [1, 3]$.

Ответ: $[-3, 1/3] \cup [1, 3]$.