Номер 4, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Сравните числа, используя график функции $y = \sqrt{x}$:

1) $\sqrt{5,4}$ и $\sqrt{5,6}$;

2) $\sqrt{2,34}$ и $\sqrt{2\frac{1}{6}}$;

3) $\sqrt{7,1}$ и $2,6$;

4) $\sqrt{\frac{5}{6}}$ и $\sqrt{\frac{6}{11}}$;

5) $3,2$ и $\sqrt{9,7}$.

Для сравнения чисел с помощью графика функции $y = \sqrt{x}$, необходимо использовать свойство монотонности этой функции. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения, то есть для всех $x \ge 0$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Графически это выглядит так: чем правее точка на оси абсцисс (оси x), тем выше соответствующая ей точка на графике функции, как показано на рисунке ниже.

Таким образом, для любых двух неотрицательных чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то и $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$. И наоборот, если $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$, то $x_1 < x_2$.

Чтобы сравнить два числа, мы можем сравнить числа, стоящие под знаком корня (подкоренные выражения). Если одно из чисел не представлено в виде корня, его следует представить в таком виде, возведя в квадрат и поместив под знак корня (например, $a = \sqrt{a^2}$ для $a \ge 0$).

1) Сравним числа $\sqrt{5,4}$ и $\sqrt{5,6}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $5,4$ и $5,6$.
Так как $5,4 < 5,6$, и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{5,4} < \sqrt{5,6}$.
Ответ: $\sqrt{5,4} < \sqrt{5,6}$.

2) Сравним числа $\sqrt{2,34}$ и $\sqrt{2\frac{1}{6}}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $2,34$ и $2\frac{1}{6}$.
Переведем $2\frac{1}{6}$ в десятичную дробь: $2\frac{1}{6} = 2 + 1 \div 6 = 2,1666... = 2,1(6)$.
Сравниваем десятичные дроби: $2,34 > 2,1(6)$.
Так как $2,34 > 2\frac{1}{6}$, и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то $\sqrt{2,34} > \sqrt{2\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{2,34} > \sqrt{2\frac{1}{6}}$.

3) Сравним числа $\sqrt{7,1}$ и $2,6$.
Представим число $2,6$ в виде квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат: $2,6^2 = 6,76$.
Таким образом, $2,6 = \sqrt{6,76}$.
Теперь сравниваем $\sqrt{7,1}$ и $\sqrt{6,76}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $7,1$ и $6,76$.
Так как $7,1 > 6,76$, то $\sqrt{7,1} > \sqrt{6,76}$.
Следовательно, $\sqrt{7,1} > 2,6$.
Ответ: $\sqrt{7,1} > 2,6$.

4) Сравним числа $\sqrt{\frac{5}{6}}$ и $\sqrt{\frac{6}{11}}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{11}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $6 \times 11 = 66$:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 11}{6 \times 11} = \frac{55}{66}$
$\frac{6}{11} = \frac{6 \times 6}{11 \times 6} = \frac{36}{66}$
Так как $\frac{55}{66} > \frac{36}{66}$, то $\frac{5}{6} > \frac{6}{11}$.
Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, $\sqrt{\frac{5}{6}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{5}{6}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.

5) Сравним числа $3,2$ и $\sqrt{9,7}$.
Представим число $3,2$ в виде квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат: $3,2^2 = 10,24$.
Таким образом, $3,2 = \sqrt{10,24}$.
Теперь сравниваем $\sqrt{10,24}$ и $\sqrt{9,7}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $10,24$ и $9,7$.
Так как $10,24 > 9,7$, то $\sqrt{10,24} > \sqrt{9,7}$.
Следовательно, $3,2 > \sqrt{9,7}$.
Ответ: $3,2 > \sqrt{9,7}$.