Номер 11, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11. Расположите в порядке возрастания числа:

1) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $\sqrt{30}$ и $7\sqrt{2}$;

2) $8\sqrt{0,2}$, $\sqrt{41}$ и $\frac{2}{5}\sqrt{250}$;

3) $5\sqrt{\frac{7}{2}}$, $\sqrt{17}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{62}$;

4) $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$.

1) Чтобы расположить числа в порядке возрастания, приведем их к виду $\sqrt{a}$, внеся множитель под знак корня.
$\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.
Второе число: $\sqrt{30}$.
$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.
Теперь у нас есть числа $\sqrt{32}$, $\sqrt{30}$ и $\sqrt{98}$. Сравним подкоренные выражения: $30 < 32 < 98$.
Следовательно, $\sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{98}$, что в исходном виде записывается как $\sqrt{30} < \frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{30}, \frac{2}{3}\sqrt{72}, 7\sqrt{2}$.

2) Приведем все числа к виду $\sqrt{a}$.
$8\sqrt{0,2} = \sqrt{8^2 \cdot 0,2} = \sqrt{64 \cdot 0,2} = \sqrt{12,8}$.
Второе число: $\sqrt{41}$.
$\frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot 250} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 250} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.
Сравниваем подкоренные выражения чисел $\sqrt{12,8}$, $\sqrt{41}$ и $\sqrt{40}$: $12,8 < 40 < 41$.
Следовательно, $\sqrt{12,8} < \sqrt{40} < \sqrt{41}$, что в исходном виде записывается как $8\sqrt{0,2} < \frac{2}{5}\sqrt{250} < \sqrt{41}$.
Ответ: $8\sqrt{0,2}, \frac{2}{5}\sqrt{250}, \sqrt{41}$.

3) Приведем все числа к виду $\sqrt{a}$.
$5\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{25 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{175}{2}} = \sqrt{87,5}$.
Второе число: $\sqrt{17}$.
$\frac{1}{2}\sqrt{62} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 62} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 62} = \sqrt{\frac{62}{4}} = \sqrt{15,5}$.
Сравниваем подкоренные выражения чисел $\sqrt{87,5}$, $\sqrt{17}$ и $\sqrt{15,5}$: $15,5 < 17 < 87,5$.
Следовательно, $\sqrt{15,5} < \sqrt{17} < \sqrt{87,5}$, что в исходном виде записывается как $\frac{1}{2}\sqrt{62} < \sqrt{17} < 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.
Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{62}, \sqrt{17}, 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

4) Приведем все числа к виду $\sqrt{a}$.
$12\sqrt{0,5} = \sqrt{12^2 \cdot 0,5} = \sqrt{144 \cdot 0,5} = \sqrt{72}$.
Второе число: $\sqrt{89}$.
$\frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{90}$.
Сравниваем подкоренные выражения чисел $\sqrt{72}$, $\sqrt{89}$ и $\sqrt{90}$: $72 < 89 < 90$.
Следовательно, $\sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90}$, что в исходном виде записывается как $12\sqrt{0,5} < \sqrt{89} < \frac{3}{4}\sqrt{160}$.
Ответ: $12\sqrt{0,5}, \sqrt{89}, \frac{3}{4}\sqrt{160}$.