Номер 9, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{4^3}$;

2) $\sqrt{16^5}$;

3) $\sqrt{8 \cdot 162}$;

4) $\sqrt{750 \cdot 270}$;

5) $\sqrt{9^5}$;

6) $\sqrt{25^3}$;

7) $\sqrt{96 \cdot 486}$;

8) $\sqrt{1848 \cdot 462}$.

1) Для вычисления выражения $ \sqrt{4^3} $ можно воспользоваться свойством степеней и корней. Представим $ 4^3 $ как $ 4^2 \cdot 4 $. Тогда $ \sqrt{4^3} = \sqrt{4^2 \cdot 4} $. Используя свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, получаем: $ \sqrt{4^2} \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8 $. Другой способ: $ \sqrt{4^3} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 $.
Ответ: 8.

2) Для вычисления выражения $ \sqrt{16^5} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n $. $ \sqrt{16^5} = (\sqrt{16})^5 = 4^5 $. Вычислим $ 4^5 $: $ 4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024 $.
Ответ: 1024.

3) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{8 \cdot 162} $, разложим числа под корнем на множители так, чтобы выделить полные квадраты. $ 8 = 4 \cdot 2 $. $ 162 = 2 \cdot 81 $. Подставим разложение в исходное выражение: $ \sqrt{8 \cdot 162} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 81)} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81} = \sqrt{4 \cdot 4 \cdot 81} $. Теперь извлечем корень из каждого множителя: $ \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{81} = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 36 $.
Ответ: 36.

4) Для вычисления $ \sqrt{750 \cdot 270} $ разложим числа на удобные множители. $ 750 = 75 \cdot 10 = (25 \cdot 3) \cdot 10 $. $ 270 = 27 \cdot 10 $. Подставим в выражение: $ \sqrt{750 \cdot 270} = \sqrt{(25 \cdot 3 \cdot 10) \cdot (27 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{25 \cdot (3 \cdot 27) \cdot 100} $. $ 3 \cdot 27 = 81 $. Получаем: $ \sqrt{25 \cdot 81 \cdot 100} $. Извлекаем корень из каждого множителя: $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 9 \cdot 10 = 450 $.
Ответ: 450.

5) Для вычисления $ \sqrt{9^5} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n $. $ \sqrt{9^5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 $. Вычислим $ 3^5 $: $ 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243 $.
Ответ: 243.

6) Для вычисления $ \sqrt{25^3} $ используем тот же подход: $ \sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n $. $ \sqrt{25^3} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 $. Вычислим $ 5^3 $: $ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $.
Ответ: 125.

7) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{96 \cdot 486} $, разложим числа под корнем на множители. $ 96 = 16 \cdot 6 $. $ 486 = 81 \cdot 6 $. Подставим разложение в исходное выражение: $ \sqrt{96 \cdot 486} = \sqrt{(16 \cdot 6) \cdot (81 \cdot 6)} = \sqrt{16 \cdot 81 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt{16 \cdot 81 \cdot 36} $. Извлекаем корень из каждого множителя: $ \sqrt{16} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{36} = 4 \cdot 9 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216 $.
Ответ: 216.

8) Для вычисления $ \sqrt{1848 \cdot 462} $ попробуем найти связь между числами. Заметим, что $ 1848 $ является кратным $ 462 $. Проверим делением: $ 1848 / 462 = 4 $. Таким образом, $ 1848 = 4 \cdot 462 $. Подставим это в выражение: $ \sqrt{1848 \cdot 462} = \sqrt{(4 \cdot 462) \cdot 462} = \sqrt{4 \cdot 462^2} $. Извлекаем корень из произведения: $ \sqrt{4} \cdot \sqrt{462^2} = 2 \cdot 462 = 924 $.
Ответ: 924.