Номер 6, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Найдите значение квадратного корня:

1) $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}}$;

2) $\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}}$;

3) $\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}}$;

4) $\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}}$.

1)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}} $ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя дроби.

$ \sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}} $

Выполним действия в скобках:

$ 165 - 124 = 41 $

$ 165 + 124 = 289 $

Подставим полученные значения в выражение:

$ \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} $

Теперь сократим дробь. Заметим, что знаменатель $164$ можно разложить как $4 \cdot 41$.

$ \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}} $

Извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя:

$ \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5 $

Ответ: $8,5$

2)

Для вычисления $ \sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}} $ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и для числителя, и для знаменателя.

$ \sqrt{\frac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}} $

Вычислим значения в скобках:

В числителе: $ 149 - 76 = 73 $ и $ 149 + 76 = 225 $.

В знаменателе: $ 457 - 384 = 73 $ и $ 457 + 384 = 841 $.

Подставим результаты в выражение:

$ \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}} $

Сократим дробь на общий множитель 73:

$ \sqrt{\frac{225}{841}} $

Извлечем корень из числителя и знаменателя:

$ \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}} = \frac{15}{29} $ (так как $15^2=225$ и $29^2=841$).

Ответ: $\frac{15}{29}$

3)

Найдем значение выражения $ \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} $. Сначала преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов.

$ \sqrt{\frac{98}{(176-112)(176+112)}} $

Выполним вычисления в знаменателе:

$ 176 - 112 = 64 $

$ 176 + 112 = 288 $

Подставим значения в выражение:

$ \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} $

Упростим подкоренное выражение, разложив числа на множители:

$ \sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot 2 \cdot 144}} $

Сократим дробь на 2:

$ \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}} $

Извлечем квадратный корень:

$ \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = \frac{7}{8 \cdot 12} = \frac{7}{96} $

Ответ: $\frac{7}{96}$

4)

Найдем значение выражения $ \sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} $. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

$ \sqrt{\frac{(145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5)}{(193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5)}} $

Вычислим значения в скобках:

В числителе: $ 145,5 - 96,5 = 49 $ и $ 145,5 + 96,5 = 242 $.

В знаменателе: $ 193,5 - 31,5 = 162 $ и $ 193,5 + 31,5 = 225 $.

Подставим полученные значения:

$ \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}} $

Упростим дробь, разложив некоторые множители:

$ \sqrt{\frac{49 \cdot 2 \cdot 121}{2 \cdot 81 \cdot 225}} $

Сократим дробь на 2:

$ \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} $

Извлечем квадратный корень из произведения:

$ \frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135} $

Ответ: $\frac{77}{135}$